Графічний метод розв’язання ігор 2 ´ n і m ´ 2

Пояснимо метод на прикладах.

Приклад 8.6. Розглянемо гру, що задана платіжною матрицею:

На площині хОy введемо систему координат і на осі Ох відкладемо відрізок одиничної довжини А₁, А₂, кожній точці якого поставимо у відповідність деяку змішану стратегію гравця 1 (х, 1- х) (див. на наведеному нижче рисунку). Зокрема, точці А₁ (0;0) відповідає стратегія А₁, а точці А₂ (1;0) – стратегія А₂ і т.д.

y

М 7

3 u 2

2 2

У точках А₁ і А₂ відновимо перпендикуляри, на яких будемо відкладати виграші гравців. На першому перпендикулярі (у даному випадку він збігається з віссю 0_y) відкладемо виграш гравця 1 при стратегії А₁, а на другому – при стратегії А₂. Якщо гравець 1 застосує стратегію А₁, то виграє при стратегії В₁ у гравця 2 – 2 у.о., при стратегії В₂ – 3 у.о., а при стратегії В₃ – 11у.о.. Числам 2, 3, 11 на 0y відповідають точки В₁, В ₂ і В ₃. Якщо ж гравець 1 застосує стратегію А₂, то його виграш при стратегії В₁ дорівнює 7 у.о., при В₂ – 5 у.о., а при В₃ – 2 у.о. Ці числа визначають точки В¢₁, В₂¢, В₃¢ на перпендикулярі, відновленому у точці А₂.

З’єднуючи між собою точки В₁ і В¢₁, В₂ і В¢₂, В₃ і В¢₃ отримаємо три прямі, відстань до яких від осі 0х визначає середній виграш при будь-якому поєднанні відповідних стратегій. Наприклад, відстань від будь-якої точки відрізка В₁В¢₁ до осі 0х визначає середній виграш u₁ при будь-якому поєднанні стратегій А₁ А₂ (з частотами х і 1– х) і стратегією В₁ гравця 2. Ця відстань дорівнює

2 х₁ + 6(1 - х₂) = u₁.

(Згадайте планіметрію і розглянете трапецію А₁ B₁ B¢₁ A₂). Таким чином, ординати точок, що належать ламаній В₁ M N В¢₃ визначають мінімальний виграш гравця 1 при застосуванні ним будь-яких змішаних страте­гій. Ця мінімальна величина є максимальною в точці N. Отже, цій точці відповідає оптимальна стратегія Х* = (х, 1- х), а її ордината дорівнює ціні гри u. Координати точки N знаходимо як точку перетинання прямих В₂ B¢₂ і В₃ B¢₃. Відповідні два рівняння мають вигляд

.

Отже, Х = (3/11; 9/11), при ціні гри u = 49/11. Таким чином, ми можемо знайти оптимальну стратегію за допомогою матриці .

Оптимальні стратегії для гравця 2 можна знайти із системи

і, отже, Y = (0; 9/11; 2/11). (З рисунка видно, що стратегія B₁ не ввійде в оптимальну стратегію).

Приклад 8.7. Розв’яжемо гру, що задана матрицею

.

Розв’язання. Матриця має розмірність 2 х 4. Будуємо прямі, що відповідають стратегіям гравця 1 (дивись на рисунку нижче). Ламана А₁ K А¢₄ відповідає верхній границі виграшу гравця 1, а відрізок NK –ціні гри. Розв’язок гри, при цьому, буде такий:

U = (; ); Х = (; 0; 0; ); u = .

x 8

6 К 6

u

N y