Приклад 8.2

З аналізу наведеної платіжної матриці Н видно, що , тобто дана матриця не має сідлової точки. Якщо перший гравець вибирає свою чисту максимінну стратегію i = 2, то другий гравець, вибравши свою мінімаксну стратегію j = 2, програє тільки 20. У цьому випадку першому гравцю вигідно обрати стратегію і = 1, тобто відхилитися від своєї чистої максимінної стратегії і виграти 30. Тоді гравцеві 2 буде вигідно обрати стратегію j = 1, тобто відхилитися від своєї чистої мінімаксної стратегії і програти 10. У свою чергу гравець 1 повинен обрати свою 2-у стратегію, щоб виграти 40, а гравець 2 відповість вибором 2-й стратегії і т.д.

Якщо для і -ї та к -ї стратегій першого гравця виконується умова

то існує таке j, для якого a_ij > a_kj то стратегія домінує над стратегію к. Остання може бути виключена з аналізу платіжної ма­триці гри.

Для другого гравця, якщо стратегія j домінує над стратегію l, та a_ij ³ a_il, то існує таке i, для якого a_ij > a_il, стратегію j другого гравця можна вилучити при відшуканні розв’язку гри.

Можна довести, що неефективним чистим стратегіям першого гравця відповідають ті рядки платіжної матриці, які домінуються деякою опуклою лінійною комбінацією інших рядків цієї матриці, а неефективним чистим стратегіям другого гравця відповідають ті стовпці платіжної матриці, які домінують деяку опуклу лінійну комбінацію інших стовпців цієї матриці. Отже, встановивши факти домінування, відповідні чисті стратегії гравців можна відкинути, викресливши з матриці їх стовпці та рядки. Таким чином, вдається спростити гру, особливо якщо факт домінування очевидний.

Приклад 8.3. Знайти неефективні чисті стратегії у наведеній нижче грі і спростити відповідну платіжну матрицю.

.

Оскільки третій рядок матриці домінує над першим то, викресливши з матриці перший рядок, маємо

.

У новій матриці третій стовпець домінує над першим. Тому, викресливши перший стовпець, отримаємо

.

В отриманій матриці перший стовпець домінує над опуклою лінійною комбінацією другого та третього стовпців, оскільки

Викресливши перший стовпець, маємо .

У свою чергу, в цій матриці опукла лінійна комбінація другого й третього рядків домінує над першим рядком, оскільки

Викреслимо перший рядок і отримаємо матрицю .

Можна показати, що ціна гри з платіжною матрицею дорівнює ціні вихідної гри з платіжною матрицею А, а оптимальні стратегії гравців можна отримати, розв’язавши гру з матрицею .