Метод послідовного наближення до ціни гри

Часто виникає ситуація, коли немає по­треби в точному розв’язку гри, або через якісь причини не можна знайти точного значення ціни гри та оптимальних змішаних стратегій гравців. Суть методу полягає у тому, що гра в уяві розігрується кілька разів, тобто в кожній партії гри кожний партнер вибирає ту свою стра­тегію, яка дає йому найбільший сумарний виграш. Інакше кажучи, кож­ний гравець вибирає таку послідовність своїх чистих стратегій, яка забезпечує першому гравцю максимальний середній виграш, а другому – мінімальний середній програш. Після реалізації кількох партій гри обчислюється середнє значен­ня виграшу першого гравця, програшу другого гравця, а їх середнє ариф­метичне береться за наближене значення ціни гри. Крім того, цей метод надає можливість визначити наближене значення оптимальних змішаних стратегій обох партнерів.

Розглянемо матричну гру двох гравців з платіжною матри­цею:

Результати застосування методу зведемо в табл. 8.1:

Таблиця 8.1

Стратегія	Сумарний виграш	Стратегія	Сумарний виграш
								5/1	3/1	8/2
								9/2	8/2	17/4
								14/3	11/3	25/6
								16/4	14/4	30/8
								21/5	19/5	30/10
								26/6	24/6	50/12
								29/7	27/7	56/14
								33/8	32/8	65/8
								38/9	35/9	73/18
								42/10	39/10	81/20
								46/11	42/11	88/22
								50/12	47/12	97/14
								55/13	51/13	106/26
								60/14	56/14	116/28
								63/15	59/15	122/30

n₁ – найбільший сумарний виграш першого гравця за кілька партій гри, поділений на число партій;

n₂ – найменший сумарний програш другого гравця за те саме число партій гри, поділений на число партій

Заповнюємо таблицю таким чином.

У випадку, коли другий гравець обрав свою першу стратегію, перший гравець виграє:

4, якщо вибере свою першу стратегію;

5, якщо вибере свою другу стратегію;

1, якщо вибере свою третю стратегію.

Ці значення запишемо в 2-5 стовпці табл. 8.1. Максимальний виграш першого гравця буде тоді, якщо він використає свою другу стратегію. При цьому другий гравець програє:

5, якщо вибере свою першу стратегію,

3, якщо вибере свою другу стратегію,

5, якщо вибере свою третю стратегію.

Ці дані запишемо у 6 - 9 стовпці табл. 8.1. Для другої страте­гії першого гравця другий матиме найменший програш, якщо вибере свою другу стратегію. У стовпець 10 запишемо найбільший середній виграш першого гравця, який він має в першій партії гри, тобто 5/1, а у стовпець II занесемо найменший середній програш 3, який мав другий гравець у першій партії, в стовпець 12 запишемо середнє арифметичне, тобто наближене значення ціни гри: 5/1 + 3/1: 2 = 8/2. Якщо другий гравець використовуватиме свою другу стратегію у другій партії гри, то перший має отримати 5, 3, 5 відповідно при своїх першій, другій, третій стратегіях, а сумарний виграш його за дві партії гри буде:

4 + 5 = 9 – при його першій стратегії;

5 + 3 = 8 – при його другій стратегії;

І + 5 = 6 – при його третій стратегії.

Ці сумарні виграші запишемо в другий рядок табл. 8.1 (стовпці 3 – 5). Зних найбільшим є 9, що відповідає першій стратегії першого гравця, тобто в цій партії йому необхідно вибрати цю свою стратегію. Другий гравець програв при цьому 4, 5, 3 відповідно при першій, дру­гій, третій своїх стратегіях, а його сумарний програш за дві партії гри буде:

5 + 4 = 9 – прийого першій стратегії;

3 + 5 = 8 – прийого другій стратегії;

5 + 3 = 8 – при його третій стратегії.

Ці сумарні програші запишемо в другий рядок табл. 8.1 (стовпці 7- 9).

Із цих програшів найменшим є 8, що відповідає другій та третій його стратегіям, тобто в третій партії гри другий гравець мо­же використовувати будь-яку з цих двох стратегій, нехай другу. У стовпці 10 запишемо найбільший сумарний виграш першого гравця за дві партії, поділений на число партій, тобто 9/2, у стовпець 11 – відповідно 8/2 – найменший сумарний програш другого гравця за дві партії, поділений на число партій, а у стовпець 12 – їх середнє арифметичне – 17/4.

Продовжуючи далі цей процес, заповнимо всю табл. 8.1 для 15 партій. Звідси можна обчислити, що наближена змішана стратегія пер­шого гравця має вигляд Х = (5/15, 8/15, 2/15), другого – Y = (4/15, 6/15, 5/I5), а ціна гри – n = 61/18.

Точне значення змішаних стратегій гравців буде:

а ціна гри n = 4,067.