Похідні критерії

Критерій Гурвіца. Намагаючись зайняти найбільш урівноважену позицію, Гурвіц припустив оцінну функцію, що знаходиться між точкою зору крайнього оптимізму і крайнього песимізму:

e_ir = { C e_ij + (1- C) e_ij },

де С – ваговий множник.

Правило вибору відповідно до критерію Гурвіца, формується таким чином: матриця розв’язків доповнюється стовпцем, що містить середнє зважене найменшого і найбільшого результатів для кожного рядка. Вибираються тільки ті варіанти, у рядках яких найбільші елементи e_ir цього стовпця.

Для С = 1 критерій Гурвіца перетворюється в Мм-критерій. При С = 0 він перетворюється в критерій «азартного гравця» e_ir = e_ij, тобто ми подивимось з точки зору азартного гравця, що робить ставку на те, що «випаде» найвигідніший випадок.

У технічних додатках складно вибрати ваговий множник С, оскільки важко знайти кількісну характеристику для тих часток оптимізму і песимізму, що присутні під час ухвалення рішення. Тому найчастіше С = 1/2.

Критерій Гурвіца застосовується у випадку, коли:

- про імовірності появи стану F_j нічого невідомо;

- появу стану F_j необхідно враховувати;

- реалізується тільки мала кількість розв’язків;

- допускається деякий ризик.

Критерій Ходжа–Лемана. Цей критерій опирається одночасно на Мм-критерій і критерій Байєса-Лапласа. За допомогою параметра n визначається ступінь довіри до використовуваних розподілів ймовірностей. Якщо довіра велика, то домінує критерій Байєса-Лапласа, інакше – Мм-критерій, тобто ми шукаємо

e_ir = {n + (1-n) e_ir }, 0 £ n £ 1. (7.1)

Правило вибору, що відповідає критерію Ходжа-Лемана формулюється таким чином: матриця розв’язків доповнюється стовпцем, складеним із середніх зважених (з вагою n º const) математичних сподівань і найменшим результатом кожного рядка (7.1). Відбираються ті варіанти розв’язків у рядках якого найбільше значення цього стовпця.

Для С = 1 критерій Ходжа-Лемана переходить у критерій Байєса-Лапласа, а для С = 0 стає мінімаксним.

Вибір суб’єктивний оскільки ступінь вірогідності будь-якої функції розподілу – «справа темна».

Для застосування критерію Ходжа-Лемана бажано, щоб ситуація, в якій приймається рішення, задовольняла властивості:

- ймовірності появи стану F_j невідомі, але деякі припущення про розподіл ймовірностей можливі;

- теоретично допускається нескінченне число реалізацій рішення;

- для малих чисел реалізацій допускається деякий ризик.

Критерій Гермейєра. Цей критерій орієнтований на величину втрат, тобто на від’ємні значення всіх e_ij. При цьому

e_ir = e_ij q_j.

Оскільки у господарських задачах переважно мають справу з цінами і витратами, умова e_ij < 0, зазвичай, виконується. У випадку ж, коли серед величин e_ij зустрічаються і додатні значення, то можна перейти до строго від’ємних значень за допомогою перетворення e_ij - a для відповідним чином вибраного a > 0. При цьому оптимальний варіант рішення залежить від значення а.

Правило вибору відповідно критерію Гермейєра формулюється таким чином: матриця розв’язків доповнюється ще одним стовпцем, що містить у кожному рядку найменший добуток наявних у ній результатів на ймовірність відповідного стану F_j. Вибираються ті варіанти, в рядках яких знаходиться найбільше значення e_ij цього стовпця.

У деякому сенсі критерій Гермейєра узагальнює ММ-критерій: у випадку рівномірного розподілу q_j = 1/ n, j = , вони стають ідентичними.

Умови його застосовності такі:

- імовірності появи стану F_j невідомі;

- появу тих або інших станів, окремо або в комплексі, необхідно враховувати;

- допускається деякий ризик;

- рішення може реалізуватися один або кілька разів.

Якщо функція розподілу відома не дуже надійно, а числа реалізації малі, то, дотримуючись критерію Гермейєра, отримують невиправдано великий ризик.

BL (MM) - критерій. Прагнення одержати критерії, які б краще пристосовувалися до наявної ситуації, ніж усі дотепер розглянуті, привело до побудови так званих складених критеріїв. Як приклад розглянемо критерій, отриманий шляхом об’єднання критеріїв Байєса-Лапласа і мінімакса.

Правило вибору для цього критерію формулюється таким чином: матриця розв’язків доповнюється ще трьома стовпцями. У першому з них записуються математичні сподівання кожного з рядків, у другому – різницю між опорним значенням

і найменшим значенням

відповідного рядка. У третьому стовпці містяться різниці між найбільшим значенням

кожного рядка і найбільшим значенням того рядка, у якому знаходиться значення . Вибираються ті варіанти, рядки яких (при дотриманні співвідношень, що нижче приводяться, між елементами другого і третього стовпців) дають найбільше математичне сподівання

з другого стовпця повинне дорівнювати деякому заздалегідь заданому рівню ризику . Значення ж з третього стовпця повинно бути більше значення з другого стовпця.

Застосування цього критерію обумовлено такими ознаками ситуації, у якій приймається рішення:

- імовірності появи станів F_j невідомі, однак, є деяка апріорна інформація на користь будь-якого визначеного розподілу;

- необхідно враховувати появу різних станів (окремо та комплексно);

- допускається обмежений ризик;

- прийняте рішення реалізується один раз або багаторазово.

BL(MM)-критерій добре пристосований для побудови практичних розв’язків насамперед в області техніки і може вважатися досить надійним. Однак задані границі ризику і, відповідно, оцінок ризику не враховують ні число застосування рішень, ні іншу подібну інформацію. Вплив суб’єктивного фактора хоча й ослаблений, але не виключений цілком. При цьому, умова

істинна у тих випадках, коли рішення реалізується тільки один або деяке мале число разів. В цих умовах недостатньо орієнтуватися на ризик, пов’язаний тільки з невигідними зовнішніми станами і середніми значеннями. Через це, щоправда, можна понести деякі втрати у вдалих зовнішніх станах. Для великого числа реалізацій ця умова перестає бути такою важливою. Вона навіть допускає розумні альтернативи. При цьому не відомо, однак, чітких кількісних вказівок, в яких випадках цю умову слід було б опускати.