Прийняття рішень в умовах ризику

Критерій очікуваного значення. Використання критерію сподіваного значення обумовлено прагненням максимізувати сподіваний прибуток (або мінімізувати сподівані витрати). Використання сподіваних величин припускає можливість багаторазового розв’язання однієї і тієї ж задачі, поки не будуть отримані досить точні розрахункові формули. Математично це виглядає таким чином.

Нехай Х – випадкова величина з математичним сподіванням MX і дисперсією DX. Якщо x₁, x₂,..., x_n – значення випадкової величини X, то їх середнє арифметичне (вибіркове середнє) значень має дисперсію . Таким чином, коли n ® ¥, то ® 0 і ® MX.

Іншими словами, для досить великого обсягу вибірки різниця між середнім арифметичним і математичним сподіванням прямує до нуля (гранична теорема теорії імовірності). Отже, відповідно даному критерію очікуване значення буде правильним тільки тоді, коли одне і те ж рішення приходиться застосовувати досить велику кількість разів. Правильним буде і зворотне – орієнтація на сподівання для рішень, що приходиться приймати невелике число раз, буде призводити до неправильних результатів.

Приклад 7.1. Потрібно прийняти рішення про те, коли необхідно проводити профілактичний ремонт ПЕОМ, щоб мінімізувати втрати через несправність. У випадку, якщо ремонт буде здійснюватись надто часто, витрати на обслуговування будуть великими при малих втратах через випадкові поломки.

Оскільки неможливо заздалегідь визначити, коли виникне несправність, необхідно знайти імовірність того, що ПЕОМ вийде з ладу в період часу t. У цьому і складається елемент «ризику».

Математично це виглядає таким чином: ПЕОМ ремонтується індивідуально, якщо вона зупинилася через поломку. Через T інтервалів часу виконується профілактичний ремонт усіх n ПЕОМ. Необхідно визначити оптимальне значення Т, для якого мінімізуються загальні витрати на ремонт несправних ПЕОМ і проведення профілактичного ремонту в розрахунку на один інтервал часу.

Нехай р_t – імовірність виходу з ладу однієї ПЕОМ у момент t, а n_t – випадкова величина, що дорівнює числу усіх ПЕОМ, що вийшли з ладу у той же момент. Нехай далі С₁ – витрати на ремонт несправної ПЕОМ і С₂ – витрати на профілактичний ремонт однієї машини.

Застосування критерію сподіваного значення в даному випадку виправдано, якщо ПЕОМ працюють протягом досить великого періоду часу. При цьому очікувані витрати (ОВ) на один інтервал складуть

ОВ = ,

де M(n_t) – математичне сподівання числа вийшовших з ладу ПЕОМ у момент часу t.

Оскільки n_t характеризується біноміальним законом розподілу з параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t.

ОВ = ,

при цьому необхідні умови оптимальності T^* мають вигляд:

ОВ (T^*-1) ³ ОВ (T^*), ОВ (T^*+1) ³ ОВ (T^*).

Отже, починаючи з малих значень T, обчислюють ОВ(T), поки не будуть задоволені необхідні умови оптимальності.

Нехай С₁ = 100; С₂ = 10; n = 50. Значення p_t мають вигляд:

T	рt		ОВ(Т)
	0,05
	0,07	0,05
	0,10	0,12	366,7
	0,13	0,22
	0,18	0,35

T^*® 3, ОВ(Т^*) ® 366,7 Отже профілактичний ремонт необхідно робити через T^*= 3 інтервали часу t.

7.1.2 Критерій «очікуване значення – дисперсія»

Критерій очікуваного значення можна модифікувати таким чином, щоб його можна було застосувати і для рідко повторюваних ситуацій.

Якщо х – випадкова величина з дисперсією DX, то середнє арифметичне має дисперсію , де n – число доданків в . Отже, якщо DX зменшується, і ймовірність того, що близьке до MX, збільшується. Таким чином, доцільно ввести критерій, у якому максимізація очікуваного значення прибутку поєднається з мінімізацією її дисперсії.

Приклад 7.2. Застосуємо критерій «очікуване значення – дисперсія» для прикладу 1. Для цього необхідно знайти дисперсію витрат за один інтервал часу, тобто дисперсію

в_Т = .

Оскільки n_t, t = – випадкова величина, то в_Т також є випадковою величиною. Випадкова величина n_t має біноміальний розподіл з M(n_t) = np_t і D(n_t) = np_t(1–p_t). Отже,

де В₂n = const.

З наведеного прикладу випливає, що М(в_Т) = М(в(Т)). Отже шуканим критерієм буде мінімум виразу

М[в(Т)] + к D(в_Т).

Зауваження. Константу «к» можна розглядати як рівень несхильності до ризику, тому що «к» визначає «ступінь можливості» дисперсії Д(в_Т) стосовно математичного сподівання. Наприклад, якщо підприємець особи-во гостро реагує на великі негативні відхилення прибутку вниз від М[в(Т)], то він може вибрати «к» набагато більше 1. Це додає більшу вагу дисперсії і приводить до рішення, що зменшує імовірність великих втрат прибутку.

Для к =1 отримаємо задачу:

.

За даними з прикладу 7.1 можна скласти таку таблицю:

Т	pt	pt2			М(в(Т))+D(в(Т))
	0,05	0,0025			500,00
	0,07	0,0049	0,05	0,0025	6312,50
	0,10	0,0100	0,12	0,0074	6622,22
	0,13	0,0169	0,22	0,0174	6731,25
	0,18	0,0324	0,35	0,0343	6764,00

З наведеної таблиці видно, що профілактичний ремонт необхідно робити протягом кожного інтервалу Т^*= 1.