Производные высших порядков

Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого множества . Тогда ее производную можно рассматривать как функцию, определенную на множестве . В свою очередь функция может в некоторых точках множества иметь производную. В этом случае производной второго порядка (второй производной) называется производная от производной . Для второй производной функции в точке x применяются обозначения:

Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков.

Производной первого порядка (или первой производной) считается .

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем и обязательно упростим полученное выражение:

.

Пример 2. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически: .

Решение. Найдем производную первого порядка:

;

;

Пример 3. Найти производную n- го порядка: .

Решение. Найдем последовательно несколько производных высших порядков:

;

;

.

И так далее. Получим общую формулу для производной n- го порядка

.

Задания для самостоятельной работы

n 52. Найти производные указанных порядков явно заданных функций.

а) ; ; ;	б) ; ; ;
в) ; ; ;	г) ; ; ;
д) ; ; ;	е) ; ; ;
ж. ; ; ;	з) ; ; ;
и) ; ; ;	к) ; ; .

n 53. Найти производные второго порядка параметрически заданных функций.