Примеры решения типовых задач. Пример 1.Найти производную функции по определению

Пример 1. Найти производную функции по определению.

Решение. Так как

,то

.

Следовательно, .

Пример 2. Найти производную функции по определению.

Решение. Имеем:

.

Отсюда

.

Следовательно, .

Пример 3. Исходя из определения производной, найти , если

Решение. По определению производной в точке имеем:

.

Так как при , заменив бесконечно малую эквивалентной получим .

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных:

Пример 5. Найти производную: .

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных:

.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение: Воспользуемся правилами дифференцирования:

.

Пример 7. Найти производную: .

Решение. При дифференцировании некоторых логарифмических выражений рациональнее предварительно упростить первоначальную функцию по свойствам логарифма:

;

Пример 8. Найти производную функции .

Решение. По формуле

имеем

Пример 9. Найти производную: .

Решение. Данная функция показательно-степенная. Прологарифмируем все выражение: .

Упростим правую часть по свойству логарифмической функции:

.

Продифференцируем все выражение, учитывая, что – функция от , а – сложная функция:

;

;

. Итак, .

Пример 10. Используя метод логарифмического дифференцирования, вычислить производную функции .

Решение. Применим метод логарифмического дифференцирования. Для этого предварительно прологарифмируем обе части данного выражения и используя свойства логарифма преобразуем правую часть.

.

Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что сложная функция

Выражая производную искомой функция, получим

Учитывая, что , окончательно получим

Пример 11. Для функции, заданной параметрически, найти .

Решение. Находим производные от и от по параметру

, .

Искомую производную от по находим:

.

Задания для самостоятельной работы

n 44. Найти производную функции по определению.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 45. Исходя из определения производной, найти , если:

а)	б)
в)	г)
д)	е.
ж)	з)
и)	к)

n 46. Вычислить производную функции.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 47. Вычислить производную функции.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 48. Вычислить производную функции.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 49. Вычислить производную функции, используя логарифмическую производную.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 50. Вычислить производную функции, используя логарифмическую производную.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 51. Вычислить производную функции, заданной параметрически.