Примеры решения типовых задач. Пример 1. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

Пример 1. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид: . Уравнение нормали имеет вид: .

Найдем производную функции в точке с абсциссой .

.

Запишем уравнения касательной к кривой в точке с абсциссой : или . Уравнение нормали в этой же точке: или .

Пример 2. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу в точке .

Решение. Продифференцируем по :

, откуда , . Подставляя значения , , в формулы уравнений касательной и нормали , получим или – уравнение касательной; или – уравнение нормали.

Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке соответствующей значению параметра .

Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид: .

Найдем производную: , .

При , , . Запишем уравнение касательной к данной кривой в точке : или .

Уравнение нормали: ; или .

Задания для самостоятельной работы

n 54. Составить уравнения касательной и нормали к данной функции в указанной точке

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 55. Составить уравнения касательной и нормали к данной функции при указанном параметре

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж)	з)
и)	к)

n 56. Решить задачу

а) Составить уравнение касательной к параболе в точках пересечения с осью .

б) Составить уравнение нормали к окружности в правой точке пересечения ее с осью .

в) В какой точке параболы касательная перпендикулярна прямой ?

г) В какой точке эллипса касательная имеет угловой коэффициент, равный ?

д) На окружности найти точки, где касательная параллельна прямой .

е) На кривой найти точки, где касательная параллельна оси .

ж) Составить уравнение касательной к кривой в точке пересечения ее с осью .

з) В какой точке параболы нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла?

к) Составить уравнение касательной к кривой в точке пересечения ее с осью .