Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если для любого достаточно малого выполняется равенство , где - постоянная, - бесконечно малая функция при , то функция называется дифференцируемой в точке . Линейная часть приращения называется дифференциалом функции в точке и обозначается в виде
.
Подчеркнем, что дифференциал – это линейная функция от , бесконечно малая при .
Теорема. Для того чтобы функция имела производную , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была дифференцируемой в точке , при этом .
На рис. 7 изображен график некоторой дифференцируемой функции в точке . Точки и на графике функции имеют соответственно координаты и .
Выражения геометрически означают длины следующих отрезков: . Треугольник ограничен горизонтальной линией , вертикальной линией и касательной к графику функции в точке . В силу геометрического смысла производной имеем: ; но тогда есть длина отрезка . Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал равен приращению ординаты касательной от точки до точки .
Заметим, что разделение приращения функции на две части: соответствует разделению отрезка : . Длина отрезка , как уже отмечалось, равна значению дифференциала, а длина отрезка – бесконечно малая более высокого порядка, чем .
В равенстве функция является б.м.в. более высокого порядка, чем , следовательно, имеет смысл говорить о приближенных равенствах (при малых ):
, или .
Формула важна в задачах, когда известны значения функции и ее производной в точке и требуется вычислить значение функции в некоторой близкой к точке .
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти дифференциал функции .
Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции:
Далее в силу равенства получим .
Пример 2. Найти дифференциал функции, заданной неявно .
Решение. Найдем дифференциал обеих частей равенства. Получим . Отсюда выразим дифференциал :
.
Пример 3. Вычислить приближенно значение .
Решение. Воспользуемся формулой . Для этого определим функцию и положим , или в радианах и .
Тогда, учитывая, что , получим
, или
Для сравнения: имеет место равенство с четырьмя верными знаками.
Пример 4. Вычислить приближенно .
Решение. Рассмотрим функцию и выберем , . Найдем:
.
Тогда . Для сравнения: приближенно с точностью до 9-го знака после запятой.
Задания для самостоятельной работы
n 57. Найти дифференциал функции.
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 58. Найти дифференциал функции, заданной неявно.
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 59. Вычислить приближенно.
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 2484 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!