Примеры решения типовых задач

Пример 1. Доказать непрерывность функции при любом значении , пользуясь определением непрерывности функции .

Решение. Возьмем любое значение на числовой оси и составим разность: .

Так как , а , то при есть бесконечно малая функция. Следовательно, и бесконечно мала при как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию. Отсюда следует, что . Непрерывность , таким образом, показана.

Пример 2. Дана функция . Доказать на «»-языке непрерывность функции в точке .

Решение. В точке функция определена: .

Зададим . Составим разность и оценим ее по модулю. При для значений , удовлетворяющих неравенству , будет также выполняться и неравенство

.

Если положить , т. е. , то при значениях , для которых , будет выполняться неравенство . Непрерывность функции при доказана.

Пример 3. Дана функция . Исследовать ее на непрерывность. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Определить характер точек разрыва и величину скачка. Построить график .

Решение. Функция является неэлементарной, так как представлена различными аналитическими выражениями на промежутках . Внутри первого промежутка элементарная функция имеет разрыв при . Разрыв также возможен в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках и , и в точке .

Исследуем непрерывность в точке :

т.е ;

т.е ;

Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода. Найдем значение функции в точке : (т.к. ). Так как , то функция непрерывна в этой точке слева.

Для точки имеем:

т.е ;

т.е .

Так как , то . Найдем значение функции в точке : (т.к. ). Таким образом . Итак, функция непрерывна в точке .

Наконец, для точки находим:

т.е ;

т.е .

Таким образом, в точке функция имеет разрыв второго рода (бесконечный скачок).

График функции представлен на рис. 4.

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график .

Решение. Так как – элементарная функция, определенная для всех , поэтому она непрерывна на всей области определения.

Поскольку значение не определено, функция терпит разрыв в точке .

Найдем односторонние пределы в точке

Так как в точке имеет место разрыв функции II рода.

Для того, чтобы построить график , вычислим пределы функции при и :

График функции изображен на рис.5.

Пример 5. Найти точки разрыва функции , установить их род. В точках устранимого разрыва доопределить функцию таким образом, чтобы она стала непрерывной.

Решение. Так как яляется элементарной функцией, определенной для всех , для которых , т.е. , то она непрерывна на всей области определения.

Поскольку значения , и не определены, функция терпит разрыв в точках , и .

Найдем односторонние пределы в точке :

, т.е ;

, т.е .

, но значение не определено. Таким образом, в точке имеет место разрыв I рода (устранимый разрыв).

Доопределим функцию в точке таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.

По определению непрерывности функции в точке должно иметь место равенство . т. е.

Найдем односторонние пределы в точке :

,

т.е

,

т.е .

Таким образом, в точке имеет место разрыв II рода (бесконечный скачок).

Найдем односторонние пределы в точке :

,

т.е

,

т.е .

Таким образом, в точке имеет место разрыв II рода (бесконечный скачок).

Пример 6. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на промежутке .

Решение. Эта функция не является равномерно непрерывной на промежутке . Зададим .

Возьмем и , где – натуральное число. Тогда .

.

Какое бы мы ни выбрали, можно выбрать настолько большим, что будет , при этом . Это противоречит определению равномерно непрерывной функции.

Пример 7. Показать, что функция на промежутке не является равномерно непрерывной.

Решение. Зафиксируем . Взяв и , получим при , значит, , но .

Задания для самостоятельной работы

n 39. Исходя из определения непрерывности функции в терминах «», доказать непрерывность функций:

а) в точке ;	б) для ;
в) для ;	г) для ;
д) для ;	е) для ;
ж) для ;	з) для ;
и) для ;	к) для .

n 40. Исследовать данную функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Определить характер точек разрыва и величину скачка. Построить график функции.

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж)	з)
и)	к)

n 41. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график функции.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 42. Найти точки разрыва функции, установить их характер. В точках устранимого разрыва доопределить функцию таким образом, чтобы она стала непрерывной.

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) ;
и) ;	к) .

n 43. Исследовать на равномерную непрерывность в заданных областях следующие функции: