Свойства непрерывных функций

Теорема 1. (об арифметических операциях с непрерывными функциями). Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , и (последняя при условии, что ).

Теорема 2. (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , причем . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Теорема 3. Основные элементарные и элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены.

Символом обозначают множество непрерывных на отрезке функций. Таким образом, запись будет означать, что функция определена и непрерывна на отрезке .

Теорема 4. (первая теорема Вейерштрасса). Если , то она ограничена на этом отрезке, т.е.

.

Ясно, что обратное утверждение не имеет места, так как функция ограничена на (), однако не является непрерывной на этом отрезке (разрыв I рода в точке ).

В том случае, когда , она может быть и неограниченной. Действительно, непрерывна на , но является неограниченной на этом промежутке.

Если функция не является непрерывной на , то ограниченности на этом отрезке может и не быть. Например, функция

определена на отрезке , однако не является ограниченной на нем.

Теорема 5. Если функция и , то принимает на любое значение , лежащее между и , т.е. существует такое , что

Теорема 6. (вторая теорема Вейерштрасса). Если , то достигает на наименьшего и наибольшего значений.

Теорема 7. (Больцано – Коши). Пусть , причем . Тогда существует точка такая, что .

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная функция на концах отрезка принимает значения разных знаков, то график этой функции пересекает ось абсцисс (см. рис 3.).