Определение непрерывной функции в точке

Значение функции и предел функции в точке – это разные матемавтические понятия, существующие независимо друг от друга. В случае, когда значение функции в точке равно пределу функции в точке , говорят о «непрерывности функции в точке ».

Определение. Функцию называют непрерывной в точке в двух случаях:

1) если – изолированная точка , т.е. существует окрестность этой точки, которая не содержит точки из области определения;

2) если — предельная точка для и при этом имеет место равенство: .

На языке « – » это определение выглядит так: функцию называют непрерывной в точке , если для каждого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Это определение непрерывности легко переводится на «язык окрестностей». Функция непрерывна в точке , если

.