Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пример 1. Доказать .
Решение: Рассмотрим величину:
.
Пусть – произвольное число, выберем ; тогда если , то , следовательно, .
Таким образом, по определению, .
Пример 2. Вычислить .
Решение. Используя свойства предлов функций, получим:
.
Пример 3. Вычислить .
Решение.
.
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и в знаменателе выделить множитель, равный нулю при предельном значении , и сократить на него.
Пример 4. Вычислить .
Решение. Подставляя предельное значение в числитель и знаменатель, получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль. Имеем неопределенность вида . Стоящие в числителе и знаменателе многочлены можно разложить на множители. Следует помнить, что если , – корни квадратного трехчлена , то справедлива формула
.
Таким образом, имеем:
.
Пример 5. Вычислить
Решение. Имеет место неопределенность вида . Так как является корнем многочленов из числителя и знаменателя, то выделяется как сомножитель в числителе и знаменателе.
.
Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от нее (например, умножить на сопряженное выражение или ввести новую переменную).
Пример 6. Вычислить .
Решение. Подставляя предельное значение в числитель и знаменатель, получаем неопределенность вида . Знаменатель представляет собой «сумму кубов», поэтому при разложении его на множители получаем: . После умножения числителя и знаменателя на сопряженное числителю выражение , имеем:
.
Пример 7. Вычислить
Решение. Имеет место неопределенность вида . Произведем замену Тогда при имеем
Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую степень , а затем перейти к пределу.
Пример 8. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и, учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскрыть исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числителе и знаменателе дроби и сократить на наибольшую степень.
.
Пример 9. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 8.
.
Пример 10. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 8.
.
Пример 11. Вычислить
Решение. Имеем неопределенность вида . Избавимся от нее следующим образом: разделим числитель и знаменатель на степень с наивысшим основанием, т.е. на . Затем воспользуемся равенством если
Пример 12. Вычислить .
Решение. Очевидно, что при и . Поэтому имеем неопределенность вида . Далее получаем:
.
Неопределенности вида возникают, как правило, либо при исследовании разности двух дробей (в этом случае рекомендуется приводить дроби к общему знаменателю), либо при рассмотрении разности иррациональных выражений (для избавления от иррациональностей следует преобразовать исходное выражение либо к разности квадратов, либо к сумме или разности кубов).
Пример 13. Вычислить .
Решение. В данном случае имеем неопределенность . Приведем дроби к общему знаменателю:
.
Пример 14. Вычислить .
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для таким «сопряженным» является . Таким образом, получаем:
.
Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении примера 12. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:
.
При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, полезно использовать «первый замечательный предел» .
Пример 15. Вычислить .
Решение. Очевидно, что при , и . Чтобы применить первый замечательный предел, необходимо получить в знаменателе выражение, совпадающие с аргументом синуса. Для этого числитель и знаменатель умножаем на число 4:
.
Пример 16. Вычислить .
Решение. Знаменатель разложим на множители как разность квадратов, а в числителе воспользуемся формулой :
.
Пример 17. Вычислить .
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , можно воспользоваться формулой :
В примерах с неопределенностью выражение, стоящее под знаком предела представляет собой показательно–степенную функцию. Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела» .
Пример 18. Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом:
.
Пример 19. Найти предел функции .
Решение. Имеем неопределенность вида , преобразуем ее к неопределенности вида . Пользуясь свойствами логарифмов: и , получим:
.
Далее
.
Пример 20. Найти предел функции .
Решение. В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется. Имеем , тогда .
Пример 21. Найти предел функции .
Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом :
.
Пример 22. Найти предел функции .
Решение. Выделим в числителе, выражение вида , а в знаменателе – . Затем воспользуемся следующим равенствами и :
.
Задания для самостоятельной работы
n 19. Доказать равенство.
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 20. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) ; |
n 21. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 22. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 23. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 24. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 25. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 26. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 27. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 28. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 29. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 30. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 31. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 32. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 33. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 34. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 35. Вычислить
а) ; | б) ; |
в) ; | г) ; |
д) ; | е) ; |
ж) ; | з) ; |
и) ; | к) . |
n 36. Вычислить
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 1118 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!