Свойства функций, имеющих пределы

Теорема 1. (единственность предела). Если функция имеет предел (), то это предел единственный.

Теорема 2. (необходимое условие существования предела). Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки .

Теорема 3. Если функция имеет конечный предел при равный и , то существует проколатая окрестнось точки такая, что для любого из этой окрестности будет выполняться неравенство .

Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности имеет место неравенство . Тогда если существуют конечные пределы и , то .

Теорема 5. («о двух милиционерах») Пусть в некоторой окрестности для функций , , имеют место неравенства . Если существуют конечные пределы , то существует предел .

Теорема 6. (об арифметических операциях с пределами функций). Если функции и имеют конечные пределы при , то справедливы равенства

, ,

а если , то и равенство

.

Теорема 7. (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три условия:

1) существует конечный предел ;

2) существует конечный предел ;

3) существует такая проколотая окрестность , что для любого выполнено условие .

Тогда существует

Теорема 8. Если существуют конечные пределы и , то существует предел .