Обробка результатів великої вибірки (n>30)

1)

2)

3)

4)

5) а)

б) по таблиці значень функції Ф(t) з Додатку І, [1], знайти t;

6)

7) Х_шукане= М(х)±d з a.

Такі кроки треба зробити, щоб розв’язати нашу задачу.

Отже, приступаємо. Так як перші три кроки ми виконали у попередньому завданні, то ми лише перепишемо результати:

1)

2) годин²;

3)

4) Визначимо m:

5) розрахуємо значення функції Ф(t), використавши значення a=0,999 (з умови задачі):

а)

б) тепер по таблиці з Додатку І, [1], знайдемо t:

t=3,3;

6) обчислимо значення ширини надійного інтервалу (похибки) d:

7) запишемо результат у вигляді надійного інтервалу:

t_шукане= М(t)±d з a;

t_шукане=(6,6±0,5) годин з a=0,999.

Тепер запишемо результат у вигляді висновку-відповіді:

Тривалість сну студентів становить (6,6±0,5) годин. Даний результат достовірний з ймовірністю a=0,999 або 99,9%.

Примітка. Зверніть увагу, що значення величин d в п.6 можна шукати по будь-якій з трьох формул. Це означає, що при розв’язанні задач, подібних до прикладу 8 в), не обов’язково потрібно виконувати усі 7 кроків. В умові задачі одразу може бути дано s або m.

Приклад 9.

При дослідженні об’єму води, яку доросла людина вживає за добу (в будь-якому вигляді), отримали такі результати: найбільш ймовірне значення об’єму води дорівнює 1,8 л, дисперсія – 1,45 л². У дослідженні прийняли участь 144 особи. Записати кінцевий результат у вигляді надійного інтервалу з ймовірністю a=0,95.

Розв’язання:

Так як n>30, це велика вибірка, то розв’язання виконуємо по аналогії із прикладом 8 в):

1) де V – об’єм води;

2)

3)

4)

5) а)

б) t=2,0;

6)

7) V_шукане= М(х)±d з a;

V_шукане= (1,8±0,2) л з a=0,95.

Отже, висновок-відповідь:

Об’єм води (в будь-якому вигляді), який доросла людина вживає за добу, становить V_шукане= (1,8±0,2) л. Даний результат достовірний з ймовірністю 0,95 або 95%.

Іншими словами: 95% дорослих людей за добу вживають (в будь-якому вигляді) (1,8±0,2) л води.

Приклад 10.

У здорових людей виміряли кількість вдихів за хвилину: 15 вдихів/хв. у 10 чоловік, 20 вдихів/хв. – у 20 чоловік, 25 вдихів/хв. – у 10 чоловік. Записати досліджувану величину у вигляді інтервалу з ймовірністю a=0,999.

Розв’язання:

Так як n=40, то це велика вибірка (n>30). Тому задачу будемо робити так, як у прикладові 8в. Для зручності розмістимо дані у таблицю, яка має сім колонок. В першій колонці запишемо значення результатів вимірів, а у другій – скільки раз вони зустрічаються.

Вийде ось така таблиця:

Кі, вдихів/хв	mi

Приступаємо до розв’язання.

1) Математичне очікування знаходимо за формулою:

Для цього використаємо таблицю. У колонці №3 запишемо ймовірність кожного виміру (Р_і), а у колонці №4 – добуток величини на її ймовірність К_і × Р_і. Вийде ось така таблиця:

Кі, вдихів/хв	mi	Рі	Кі × Рі
		0,25	3,75
		0,5
		0,25	6,25
			S=20 вдих/хв

Знайдемо суму чисел у колонці №4 і запишемо її внизу під таблицею. Ця сума і є математичне очікування: М(К) = 20 вдихів/хв.

2) Дисперсію шукатимемо за формулою:

Щоб знайти дисперсію, використаємо решту пустих колонок. У колонці №5 запишемо результати віднімання математичного очікування від окремих результатів, у колонці №6 – квадрат цієї різниці, у колонці №7 – добуток квадрату різниці на ймовірність. Знайдемо суму чисел у колонці №7 і запишемо її внизу під таблицею.

Тоді наша таблиця матиме такий вигляд:

Кі, вдихів/хв	mi	Рі	Кі × Рі	Кі – М(К)	(Кі – М(К))2	(Кі – М(К))2 × Рі
		0,25	3,75	-5		6,25
		0,5
		0,25	6,25			6,25
			S=20 вдих/хв			S=12,5 вдих/хв

Д = 12,5 (вдихів/хв.)².

Далі розв’язання задачі проводимо по відомій нам схемі.

3) ;

4) ;

5) а) ;

б) t=3,3;

6)

7) К_шукане= М(К)±d з a;

К_шукане= (20±2) вдихів/хв. з a=0,999.

Запишемо висновок-відповідь:

99,9% здорових людей робить за 1 хв. (20±2) вдихів.