ГЛОССАРИЙ 4 страница

Требуется найти неотрицательные числа xj(j = 1, 2,..., n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму

Неотрицательность искомых чисел записывается так: xj≥ 0.

Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с оговорками: как ограничения, так и целевая функция линейные, а искомые переменные неотрицательные. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi— количест- во ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij— норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем количе- ство таких видов — n; cj— доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — “не больше”, во втором — “столько же”, в третьем — “не меньше”; Z — в случае мак- симизации, напр., объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себе- стоимость, расход сырья и т. п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколь- ко ниже: vi— оптимальная оценка i-го ресурса.

Слово “программирование” объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, кото- рые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово “линейное” от- ражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т. е. состоит в отыскании экстремума (мак- симума или минимума) целевой функции.

Первооткрыватель Л. п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государ- ственной и Нобелевской премий Л. В. Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л. В. Канторович впервые точно сформулировал такие важные и те- перь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оцен- ки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико- математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х гг., мно- гое сделали в этой области американские ученые — экономист Т. Купманс и математик Дж. Данциг. Последний ввел термин “Л. п.”.

МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ [macroeconomic aggregative model] (то же: макромодель, агрегированная, агрегатная модель) — экономико-математическая мо- дель, отражающая функционирование народного хозяйства как единого целого. Мак- ромодели оперируют крупноагрегированными, как правило, стоимостными показате- лями — агрегатами (напр., валовой национальный продукт, валовые капиталовложения и др.).

Четкого отграничения макромоделей от микромоделей пока нет. Безусловно лишь, что к первым относятся наиболее обобщенные глобальные модели. Что же касается моде- лей, в которых учитывается членение народного хозяйства на крупные подсистемы, напр. секторы (подразделения общественного производства), отрасли и регионы, то од- ни авторы относят их к микромоделям, другие — к макромоделям.

Макромодели используются для теоретического анализа наиболее общих закономерно- стей функционирования и развития народного хозяйства. (Напр., агрегированные тео- ретико-аналитические модели теории экономического роста.)

Важным полем применения М. м. является прогнозирование народнохозяйственных процессов. Для этого применяются макроэкономические производственные функции, модели оптимизации соотношения нормы накопления и нормы потребления в нацио- нальном доходе и др. На Западе среди используемых для прогнозирования макроэко- нометрических моделей наиболее известны модели: Клейна—Голдбергера, Брукинг- ская, Уортонская в США; хозяйственного развития Голландии; Канадская модель.

По характеру зависимостей макромодели (как и всякие модели) могут быть детермини- рованными и вероятностными (стохастическими), по роли временного фактора — ста- тическими и динамическими, по представлению переменных (включая переменную времени) — дискретными и непрерывными

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ [mathematical

theory of optimal processes] — дисциплина, рассматривающая математические задачи

автоматического регулирования, прежде всего в технических системах (ракета, самолет

и др.). Но экономистами делаются попытки применить некоторые понятия этой теории

и к управлению экономическими процессами, в частности при теоретическом анализе

процессов перспективного развития и планирования, при построении и решении задач

динамического программирования.

Сущность оптимального автоматического регулирования состоит в том, что оно не только обеспечивает компенсацию возмущений, воздействующих на объект управле- ния (как это делает, напр., прибор, известный под названием “автопилот”), но и стре- мится к нахождению наилучшей, оптимальной траектории движения.

Главный результат теории — всемирно известный “принцип максимума” выдающегося математика Л. С. Понтрягина, сформулированный так: для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние сис- темы в каждый данный момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действий.

Если рассматривать самолет как точку, движущуюся в пространстве, то это простой объект. В каждый данный момент можно определить его положение в пространстве: допустим, широту, долготу и высоту над уровнем моря; эти три величины в данном случае его фазовые координаты. Те или иные углы поворота рулей самолета, которыми определяется направление его полета, — управляющие параметры. Совокупность этих параметров (ограниченных определенной областью управления) называется собственно управлением, траектория полета — фазовой траекторией. Задача оптимального управ- ления состоит в том, чтобы выбрать такие из названных величин, которые обеспечат наиболее быстрый прилет самолета на место (впрочем, могут быть и другие критерии, тогда решения задачи будут иными, напр. перелет с наименьшим расходом горючего).

“Принцип максимума” Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным, причем без предварительного оп- ределения оптимальной траектории, а путем последовательного регулирования данного процесса.

Задачи экономики, основанные на М. т. о. п., обычно сложнее технических задач. Это выражается хотя бы в том, что экономические процессы характеризуются не тремя, а огромным числом фазовых координат, многими управляющими параметрами.

МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС ( МОБ ) [input-output model (I. O.), intersectoral balance]

каркасная модель экономики: таблица, в которой показываются многообразные на-туральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ МОБ дает комплексную характеристику процесса формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Покажем это на простейшем примере стоимостного баланса. В основу его схемы поло- жено разделение совокупного продукта на две части, играющие различную роль в про- цессе общественного воспроизводства, — промежуточный и конечный продукт (см. табл.). Выделенная часть таблицы МОБ составляет его первый раздел (первый квадрант МОБ). Это шахматная таблица межотраслевых материальных связей. Она характеризу- ет текущее производственное потребление. В строках и столбцах в одинаковом порядке перечислены одни и те же отрасли материального производства от 1-й до n-й; показате- ли, помещенные на пересечениях строк и столбцов, представляют собой величины межотраслевых потоков продукции и в общей форме обозначаются xij, где i и j — соот- ветственно номера отраслей производителей и потребителей. Напр., показатель x32 на пересечении третьей строки и второго столбца говорит о том, что отрасль, обозначен- ная номером 3, произвела (или должна произвести, если баланс плановый) для отрасли номер 2 продукцию стоимостью x32.

Если обозначить количество продукции одной отрасли, необходимой для производства единицы продукции другой отрасли, через aij, а через xj — объем продукции отрасли- потребителя, то межотраслевой поток отраслей i и j составит aijxj.

Показатели aij называются коэффициентами прямых затрат.

Отрасль         ...   n Конечный продукт Валовый продукт 1.   x11   x12   x13   ...   x1n   y1   x1 2. 3. x21 x22 x23 ... x2n y2 x2 . x31 x32 x33 ... x3n y3 x3 . .   . . .   . .   . . . . . . . xn1 xn2 xn3 ... xnn yn xn n Амортизация c1 c2 c3 ... cn       Чистая Оплата труда   v1   v2   v3   ...   vn     продукция Чистый доход   m   m   m   ...   m Валовая продук- ция   x1   x2   x3   ...   xn

Таблица. Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределе- ния совокупного общественного продукта

N

Во втором разделе баланса (в таблице справа от первого) отражена структура конечно- го продукта, в третьем (он расположен под первым) — формирование его стоимости как суммы чистой продукции и амортизации. Конечный продукт отрасли i принято обозначать yi. В четвертом разделе показываются элементы перераспределения и ко- нечного использования национального дохода (в таблице они опущены).

Одна из важнейших предпосылок модели МОБ — линейность связей — состоит в том, что выпуск продукции предполагается пропорциональным прямым затратам предметов труда и живого труда, т. е. если прямые затраты увеличить вдвое, то и выпуск (валовой продукции) вырастет тоже вдвое, а если в выпуске данного продукта участвует несколько отраслей, то этот выпуск оказывается линейной (пропорциональной) функцией всех прямых затрат. Тезис о линейности связей, разумеется, представляет собой упро- щение реальной экономической действительности. На самом деле связи сложнее. Од- нако линейность принимается условно (ради облегчения процесса расчетов по межот- раслевому балансу), поскольку при этом модель можно представить как систему ли- нейных уравнений, методы решения которой хорошо известны в математике.

Ведутся также поиски путей большего приближения МОБ к действительности путем отказа, в той или иной форме, от предпосылки линейности.

В принципе возможны два метода оценки продукции в МОБ: по ценам производителей (учитывающим затраты на производство) и по ценам конечного потребления (учиты- вающим также затраты, связанные с реализацией продукции). На практике в основном применяется второй из этих методов.

Стоимостной МОБ строится в разрезе “чистых” отраслей (см. Чистые и хозяйственные отрасли в межотраслевом балансе, Агрегирование) в сопоставимых средних ценах реа- лизации продукции.

Для расчета стоимостного баланса, построенного по указанной схеме, применяется экономико-математическая модель, которая представляет собой систему линейных уравнений

В матричной записи она выглядит еще компактнее:

AX + Y = X,

где X — вектор-столбец объемов производства; Y — то же конечного продукта; A = [aij] — матрица коэффициентов прямых затрат. Эту систему принято называть уравне- нием Леонтьева.

Решение системы относительно X позволяет выявить объем продукции каждой отрас- ли, необходимой для получения запланированного количества конечной продукции (Y), или, наоборот, определить конечный продукт по данным о валовом продукте. Как видим, принимается ли в уравнении за неизвестное X или Y, зависит от постановки за- дачи. Процесс ее решения связан с расчетом коэффициентов полных затрат (bij) про- дукции i-й отрасли на единицу продукции j-й отрасли (о методах их расчета см. Коэф- фициенты полных материальных затрат).

Включив их в указанное выше уравнение, преобразуем его в следующее:

или в матричной форме: X = BY. Таким образом, получим решение относительно X. Если известны коэффициенты bij, можно делать расчеты различных вариантов планово- го или прогнозного баланса, исходя из заданного количества конечного продукта обще- ственного производства. Выбор из ряда вариантов МОБ на плановый (прогнозный) пе- риод одного “лучшего” в принципе позволил бы оптимизировать план (прогноз), одна- ко методы оптимизации МОБ недостаточно разработаны.

В планировании бывш. СССР применялся не только подобный статический стоимост- ный баланс, но и динамические балансы, натуральные балансы, натурально- стоимостные балансы и другие виды МОБ.

МЕТОД МОНТЕ - КАРЛО [Monte-Carlo technique] (статистических испытаний) — один из методов статистического моделирования, основанный на кибернетической идее “черного ящика”.

Он применяется в тех случаях, когда построение аналитической модели явления трудно или вовсе неосуществимо (напр., при решении сложных задач теории массового об- служивания и ряда других задач исследования операций, связанных с изучением слу- чайных процессов).

Применение М. М.-К. можно проиллюстрировать примером из области теории очере- дей. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупате- лям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для то- го, чтобы принять решение, следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода (так можно назвать промежуток времени между каждыми двумя приходами покупателей) может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный ха- рактер, и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических или случайных процесса, взаимодействие которых и создает очередь.

Теперь, если наугад перебирать все возможности (напр., число покупателей, приходя- щих за час), сохраняя те же характеристики распределения, можно искусственно вос- создать картину этого процесса. Повторяя такую картину многократно, каждый раз ме- няя условия (число приходящих покупателей), можно изучать получаемые статистиче- ские данные так, как если бы они были получены при наблюдении над реальным пото- ком покупателей.

Точно так же можно воссоздать искусственную картину работы самого магазина: здесь распределение времени подхода покупателей будет взаимодействовать с распределени- ем времени обслуживания отдельного покупателя. Получаются опять два стохастиче- ских процесса. Их взаимодействие даст “очередь” с примерно такими же характеристи- ками (напр., средней длиной очереди или средним временем ожидания), какими обла- дает реальная очередь.

Таким образом, смысл М. М.-К. состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций. Единичные реализации называются статистическими испытаниями: отсюда второе название метода. Остается сказать, чту такое выбор вариантов наугад (или механизм случайного выбора). В про- стых случаях для этого можно применять бросание игральной кости (классический учебный прием), но на практике используют таблицы случайных чисел либо вырабаты- вают (генерируют) случайные числа на ЭВМ, для чего имеются специальные програм- мы, которые называются генераторами случайных чисел.

МИКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ [microeconomic model] — экономико- математическая модель, отражающая функционирование и структуру отдельного эле- мента экономической системы, взаимодействие его с другими элементами системы в процессе ее функционирования (см. Макроподход и микроподход). Четкого отграниче- ния микромоделей от макромоделей нет. Как правило, этот термин относят к изучению деятельности таких ведущих звеньев экономики, как домашнее хозяйство (потреби- тель) и фирма (производитель). Домашнее хозяйство стремится к максимизации полез- ности, фирма — к максимизации прибыли. Соответственно, к М. м. относят, напр., мо- дели спроса и потребления, поведения фирмы, ценообразования, рынка товаров, рынка капиталов и других частных рынков.

М. м. описывает поведение конкретных экономических объектов (вплоть до отдельной личности — потребителя или производителя), принимающих решения (осуществляю- щих выбор возможных альтернатив) в условиях функционирования социально- экономической системы. Каждый объект получает, или покупает, или добывает каким- то иным путем нужную ему информацию, распределяет имеющиеся ресурсы, разраба- тывает правила выбора альтернатив и стратегию дальнейших действий и т. д. Исходя из этого, можно выделить три существенные области применения М. м.: ценообразование, принятие решений об объеме производства и продаж, распределение доходов. Отличие М. м. от макромоделей: большая зависимость от внешней среды, дезагрегация показа- телей. Так же как и макроэкономические модели, микромодели могут быть статиче- скими и динамическими, детерминированными и вероятностными, дискретными и не- прерывными.

МОДЕЛИРОВАНИЕ [modelling, model-building] — 1. Исследование объектов позна- ния на моделях. 2. Построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений, а также предполагаемых (конструируемых или проектируемых) объектов.

М. в обоих указанных смыслах является мощным орудием научного познания и реше- ния практических задач и широко используется как в науке, так и во многих областях производственной деятельности человека.

С теоретической точки зрения, модель — гомоморфное отображение моделируемого объекта действительности (см. Гомоморфизм). Ряд авторов, стремясь глубже проник- нуть в процесс образования модели, утверждают, что она изоморфна (См. Изоморфизм) по отношению к некоторому абстрактному образу, представлению об объекте, которое в свою очередь является его гомоморфным отображением.

М. основывается на принципе аналогии и позволяет (при определенных условиях и с учетом неизбежной относительности аналогии) изучать объект, почему-либо трудно доступный для изучения, не непосредственно, а через рассмотрение другого, подобного ему и более доступного объекта — модели. По свойствам модели оказывается возмож- ным судить о свойствах изучаемого объекта: не обо всех, а лишь о тех, которые анало- гичны и в модели, и в объекте и при этом важны для исследования (такие свойства на- зываются существенными).

Различается подобие между моделируемым объектом и моделью: физическое — когда объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу; структурное — при сходстве между структурой объекта и структурой модели; функциональное — с точки зрения выполнения объектом и моделью сходных функций при соответствующих воздействиях; динамическое — между последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели; вероятностное — между процессами вероятностного характера в объекте и модели; геометрическое — между пространственными характеристиками объекта и модели. Соответственно различаются типы моделей.

НЕЙМАНА МОДЕЛЬ [Von Neumann model] (модель фон Неймана, модель расши- ряющейся экономики) — теоретическая модель экономической динамики, предложен- ная выдающимся американским математиком Дж. фон Нейманом. В этой модели про- изводство всех продуктов растет в одном темпе, цены не зависят от времени, прирост производства финансируется путем инвестирования прибыли. Динамическое равнове- сие в ней характеризуется условием

p′ = 1 + z′,

где p′ — относительный рост производства (при простом воспроизводстве p′ = 1); z′ —

минимальный процент на капитал.

В модели рассматривается ограниченное число (k) технологических способов, выпус- кающих n продуктов с определенными интенсивностями. Чистый продукт делится на фонд потребления и фонд накопления. На этой основе записывается ряд соотношений, используя которые можно последовательно, шаг за шагом “развивать” процесс произ- водства. Полученная траектория развития системы называется неймановской.

Нейман обобщил модель линейного программирования, учтя временной разрыв между затратами и результатами технологического процесса. Если в ст. “Линейное програм- мирование” моменты осуществления затрат и выпуска рассматриваются как одновре- менные, то в модели фон Неймана матрицы коэффициентов затрат (технологическая матрица) A и коэффициентов выпуска Y отделены друг от друга. Кроме того, предпо- лагается возможным производство любых благ, коэффициенты затрат aij относятся не к единице продукта, а к единице “уровня деятельности” (то же относится и к коэффици- ентам выпуска bij). Тогда продукт ВХ, использование которого становится возможным в конце периода, компенсирует затраты AX, и разность между общим продуктом и за- тратами составляет чистый продукт Y. (Обозначения см. в ст. “Межотраслевой ба- ланс”.)