В данном курсе предусмотрены две контрольные работы, примерные ва- рианты которых представлены ниже

Цель выполнения работы – систематизация и закрепление теоретических знаний и практических навыков студентов в решении задач.

Каждая контрольная оформляется в отдельной тетради, с указанием на ти-

тульном листе предмета, всех данных студента и имени преподавателя. Каждая

новая задача должна начинаться с точной формулировки задачи, и оканчиваться

выделенными результатами решения.

Студенты, не сдавшие контрольные работы и не прошедшие собеседова-

ния, не получают по ним зачет и к экзамену или к итоговому зачёту не допуска-

ются.

Контрольная работа № 1

Вариант 0

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения

функций функции двух вещественных переменных

x 2 y 2

z (x, y) =

Ln(xy).

49 25

2. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных z(x, y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор гра- диента функции в точке M(1;1). Найдите также в этой точке уравнение каса- тельной плоскости к поверхности графика функции и координаты соответст-вующего ей вектора единичной нормали:

z (x, y) = x 2 + 4 y 2 − 2 x −16 y + 20.

3. Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных:

z (x, y) = xy + 1 + 1.

x y

Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных перемен-ных

z (x, y) = x + 2 y, при наличии уравнения связи:

x 2 + y 2 = 5.

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равновес- ную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выруч- ка максимальна, и саму эту максимальную выручку.

Данные : D = 400 − 20 р, S = 70 + 10 р.

6. Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино» ча-

стное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили по-

ставлять коровье молоко по цене 38 руб. за литр и свежие куриные яйца по

цене 20 руб. за десяток. Как показали экономические исследования кота Мат-

роскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпродукции

(связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живности, а также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно приблизи- тельно описать формулой:

g (x, y) = 3 x 2 + 2 y 2 − 4 xy,

Где x − объем молока в литрах, которое дает корова Буренка за неделю, а y − число десятков яиц, получаемых от кур несушек за тот же период. Используя эту информацию, требуется написать функцию чистой прибыли для хозяйства

«Burenka» и рассчитать оптимальный бизнес-план: выяснить, сколько литров молока и сколько десятков яиц следует производить за неделю, чтобы чистая прибыль была бы максимальной. Найдите эту прибыль!

Вариант 1

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения

функций функции двух вещественных переменных

2 2

z (x, y) =

x − y