Ln(49 − x2 )

9 16

2. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных z(x, y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор градиента функции в точке M(2;1). Найдите также в этой точке уравнение касательной плоскости к поверхности графика функции и координаты со- ответствующего ей вектора единичной нормали:

z (x, y) = x 2 − 4 y 2 + 2 x + 8 y + 1.

3. Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных:

z (x, y) = xy + 20 − 50.

X y

4. Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных пере-

менных

z (x, y) = x + 3 y, при наличии уравнения связи:

x 2 + y 2 = 10.

5. Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равно- весную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выручка максимальна, и саму эту максимальную выручку. Данные:

D = 500 − 40 р, S = 80 + 20 р.

6. Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино» частное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили поставлять коровье молоко по цене 22 руб. за литр и свежие куриные яйца по цене 10 руб. за десяток. Как показали экономические исследования кота Матроскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпродук- ции (связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живно- сти, а также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно приблизительно описать формулой:

g (x, y) = 2 x 2 + 5 y 2 - 6 xy,

где x − объем молока в литрах, которое дает корова Буренка за неделю, а y − число десятков яиц, получаемых от кур несушек за тот же период. Исполь- зуя эту информацию, требуется написать функцию чистой прибыли для хозяйства «Burenka» и рассчитать оптимальный бизнес-план: выяснить, сколь- ко литров молока и сколько десятков яиц следует производить за неделю, чтобы чистая прибыль была бы максимальной. Найдите эту прибыль!

Вариант 2

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения

функций функции двух вещественных переменных

2 2

z (x, y) =

1 − x + y