ГЛОССАРИЙ 1 страница

Приложение 1 терминов курса « Методы оптимальных решений »

АБСТРАКТНАЯ МОДЕЛЬ [abstract model] — принципиальная основа экономико- математической модели, предназначенной для реализации различными математиче- скими и техническими средствами и, следовательно, для непосредственного решения задачи. Это предварительное, приближенное представление о рассматриваемом объекте или процессе; часто К. м. имеет вид схемы, в которой фиксируются наиболее сущест- венные параметры и связи между ними. На этом этапе ограничиваются обычно не ко- личественными, а качественными категориями, т. е., напр., отмечают, что такая-то пе- ременная возрастает при убывании значений другой (а какова точно эта зависимость — будет выяснено на следующих стадиях разработки модели).

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ [analytical model] — формула, представляющая мате- матические зависимости в экономике и показывающая, что результаты (выходы) нахо- дятся в функциональной зависимости от затрат (входов). В самом общем виде ее можно записать так: U = f(x), где x — совокупность (вектор) выходов; f — зависимость, кото- рая записана в виде математической функции.

В моделях оптимизационных (а их большинство в экономико-математических исследо- ваниях, в исследовании операций и т. д.) отыскивается такой вектор переменных x, при котором критерий, характеризующий качество функционирования системы (обычно это скаляр, а не вектор) получает наибольшее или наименьшее значение (либо вообще достигает какого-то желательного уровня). Это записывается, напр., для первого случая (максимизации) так:

u = f (x, y) → max.

Здесь y — вектор переменных, не поддающихся управлению, но влияющих на u; f —

функция, задающая отношения между всеми указанными величинами.

АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ [antagonistic games] — игры с противоположными интересами сторон (в отличие от игр с непротивоположными интересами). К ним отно- сится, в частности, игра двух лиц с нулевой суммой, т. е. при которой выигрыш одного игрока является проигрышем другого (пример см. в ст. “Игра”).

БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА [basis of vector space] — набор из макси- мального (для данного пространства) числа линейно независимых векторов (см. Ли- нейная зависимость векторов). Следовательно, все остальные векторы пространства оказываются линейными комбинациями базисных. Если все базисные векторы взаимно ортогональны, а длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонорми- рованным. Единичный базисный вектор называют ортом (обозначается ei, где i — но- мер координаты).

Каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: a = ∑aiei. Коэффициенты разложения ai однозначно определяют вектор a. Поэтому часто говорят, что n-мерный вектор — это упорядоченная совокуп- ность n чисел {ai}. (См. Вектор.) Размерность векторного пространства равна количест- ву векторов, составляющих его базис.

БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ (опорный план) [basic solution] — термин линейного про- граммирования, одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области до- пустимых решений, либо (если линия уровня параллельна одному из отрезков границы области) Б. р. — весь этот отрезок (см. рис. Л. 2 к ст. “Линейное программирование”). Оно является решением системы линейных ограничений, которое нельзя представить в виде линейной комбинации никаких других решений.

При решении задачи линейного программирования можно поступить следующим обра- зом: найти любое из таких “вершинных” решений — не обязательно оптимальное — и принять его за исходный пункт расчетов. Такое решение и будет базисным. Если оно окажется оптимальным, расчет на этом закончен, если нет — последовательно прове- ряют, не будут ли оптимальными соседние вершинные точки: ту из них, в которой план эффективнее, принимают снова за исходную точку; и так, последовательно проверяя на оптимальность аналогичные вершины, приходят к искомому оптимуму. На этом прин- ципе строятся т. н. симплексный метод решения задач линейного программирования, а также ряд других способов, объединенных общим названием “методы последователь- ного улучшения допустимого решения (МПУ)”: метод обратной матрицы, или модифи- цированный симплекс-метод, метод потенциалов для транспортной задачи и др. Они отличаются друг от друга вычислительными особенностями перехода от одного базис- ного решения к другому, улучшенному.

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ [balance model] — 1. Система уравнений (балансовых со- отношений, балансовых уравнений), которые удовлетворяют требованию соответствия двух элементов: наличия ресурса и его использования (напр., производства каждого продукта и потребности в нем, рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспо- собного спроса населения и предложения товаров и услуг). Соответствие здесь понима- ется либо как равенство, либо менее жестко — как достаточность ресурсов для покры- тия потребности (и следовательно, наличие некоторого резерва). См. Балансовый ме- тод.

2. При описании экономической системы в целом — система уравнений, каждое из ко- торых выражает требование баланса между производимым отдельными экономически- ми объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. Следовательно, в данном случае рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, частично потребляемый другими объектами системы, частично выводимый за ее пределы в качестве ее конеч- ного продукта.

Важнейшие виды балансовых моделей: 1) частные материальные, трудовые, финансо- вые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей; 2) межотраслевые балан- сы страны в целом и регионов, а на уровне предприятий — матричные модели бизнес- планов.

Основная информация для Б. м. содержится в матрице коэффициентов затрат ресурсов на конкретные направления использования (напр., в технологической матрице МОБ).

БЕЗРАЗЛИЧИЕ [indifference] — состояние, при котором одна альтернатива (благо, решение, проект и т. д.) не предпочитается другой (соответственно другому благу, ре- шению, проекту), но и последняя не предпочитается первой. Иными словами, если аль- тернативы x и y характеризуются равной полезностью, то между ними существует от- ношение Б. См. также Кривые безразличия, Линия уровня.

БЕЗУСЛОВНЫЙ МИНИМУМ, МАКСИМУМ ФУНКЦИИ [unconditional minimum, maximum] — минимум (максимум) функции, не обусловленный ограничениями задачи.

БЕЛЛМАНА ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ [Bellman’s optimality principle] — важнейшее положение динамического программирования, которое гласит: оптимальное поведение в задачах динамического программирования обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение (т. е. “управление”), после- дующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения. Этот принцип можно выразить и рассу- ждая от противного: если не использовать наилучшим образом то, чем мы располагаем сейчас, то и в дальнейшем не удастся наилучшим образом распорядиться тем, что мы могли бы иметь.

Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представ- ляет собой оптимальную траекторию. Этот принцип позволяет сформулировать эффек- тивный метод решения широкого класса многошаговых задач. (Подробнее см. Динами-ческое программирование.)

Принцип назван по имени крупного американского математика Р. Беллмана, одного из основоположников динамического программирования.

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ [non-coalition games] — класс игр, в которых каждый игрок принимает решение изолированно, т. е. без координации, переговоров, соглаше- ний или коалиций с другими игроками. Бескоалиционное равновесие — такой исход игры, при котором каждый игрок, зная о решениях других игроков, не изменит своего собственного решения. Часто его называют равновесием Нэша, по имени ученого, впервые исследовавшего математически вопрос о возможности существования точки бескоалиционного равновесия (см. также Нэша принцип устойчивости).

БЕСКОНЕЧНЫЕ ИГРЫ [infinite games] — класс игр, в которых хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.

БЕСКОНЕЧНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

[infinite methods in mathematical programming] — численные методы оптимизации, ре-

шения задач математического программирования (напр., крупноразмерных линейных)

путем последовательных шагов (итераций), дающих все более точное приближение к искомому решению. Процесс вычислений может быть прерван на этапе, когда получена требуемая точность.

БЛАГА [goods] — обобщенный термин, объединяющий известные термины: матери- альные (потребительские и производственные) Б., духовные Б., капитальные Б., а также природные Б. Следовательно, их можно определить как некоторые объекты, имеющие положительную общественную полезность, в отличие, напр., от безвозвратных отходов производства, загрязнений среды и им подобных, несущих обществу не благо, а вред. Материальные потребительские Б., представленные на рынке (товары), по характеру потребления делятся на три большие группы.

В первую входят те Б., которые отличаются разовым характером потребления, т. е. это про-дукты питания и некоторые промышленные товары. Причем поскольку экономико- математические модели часто строятся с годовыми интервалами как основной едини- цей времени, то к первой группе относятся все те предметы (фактически совсем не обя- зательно относящиеся к предметам разового применения), срок использования которых ограничен го-дом. Напр., к ним обычно (с известной долей условности) относят одеж- ду, обувь, белье. Вто-рая группа — это предметы длительного пользования (холодиль- ники, стиральные машины, мебель, автомашины и т. д.). В третью группу входят услу- ги: для них момент производства и момент потребления совпадают во времени.

С точки зрения характера объекта потребления Б. их можно разделить на Б. личного пользо-вания, коллективного пользования и общественного пользования; будучи при- своенными экономическим объектом, они становятся соответственно личной, коллек- тивной и общест-венной (общегосударственной) собственностью. По другой термино- логии их соответственно называют личные Б., коллективные Б., общественные Б.

Общее правило: чем выше доходы населения, тем больше покупается Б., и наоборот. Те товары и услуги, которые подчиняются этому правилу, называются нормальными Б., другие же, спрос на которые растет при снижении доходов населения, — низшими, низкокачествен-ными Б. (напр., Гиффина товары).

Наконец, с точки зрения характера использования полезности Б. можно выделить: 1) Б. “кон-курентные” (если такие Б. получил один экономический объект, они уже не дос- таются дру-гому — таково большинство предметов личного потребления); 2) Б. “не- конкурентные” — ими пользуются все потребители в равной мере, независимо друг от друга (напр., большин-ство природных Б.: воздух, вода океанов и т. п.); 3) Б. смешанно- го использования, полезность которых используется как непосредственно лицами (или коллективами), которые их присваивают, так и коллективами (или обществом) в целом. Напр., прививки определенным группам населения приносят им непосредственную пользу, но одновременно снижают вероятность заболеваний людей, их окружающих.

ВЕДУЩИЙ СТОЛБЕЦ, ВЕДУЩАЯ СТРОКА [pivot column, pivot row] — элементы алгоритма перебора допустимых базисных решений (невырожденной) задачи линейно- го программирования при ее решении симплексным методом. Это (последовательно сменяемые) столбец и строка симплексной таблицы, над которыми производятся пре- образования, приводящие к искомому результату.

ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ [vector optimization] — комплекс методов решения задач математического программирования, в которых критерий оптимальности пред- ставляет собой вектор, компонентами которого являются, в свою очередь, несводимые друг к другу скалярные критерии оптимальности подсистем, входящих в данную сис- тему (напр., критерии роста благосостояния разных социальных групп в социально- экономическом планировании). При этом задача оптимизации существенно видоизме- няется по сравнению с теми задачами, которые рассматриваются в большинстве статей словаря. В них она сводится к тому, чтобы, зная условия и ограничения, найти такой план, который бы максимизировал или минимизировал единственный заданный крите- риальный показатель. Это называется “скалярная оптимизация”.

Есть разные подходы к векторным задачам оптимизации, так или иначе связанные с нахождением некоторого компромисса между целями подсистем и, следовательно, ме- жду рассматриваемыми критериями. Критерии ранжируют по важности, выделяют один из них в качестве главного (тогда уровни остальных фиксируются как дополни- тельные ограничения). Оптимизация по одному из критериев называется субоптимиза- цией. Другой способ — при ранжировании приписывать критериям определенные веса (соответственно их важности) и на этой основе строить единый скалярный критерий, отражающий общую цель системы (“Скаляризация векторного критерия”).

Принцип оптимальности по Парето сводит задачу к поиску множества эффективных планов. При этом принимают, что если улучшение какого-то показателя (критерия) по- требует ухудшения хотя бы одного из остальных, оптимум достигнут. В других случаях задачу В. о. сводят к задаче теории игр, в которой игроками выступают подсистемы, имеющие несовпадающие цели и критерии.

Широко распространено отождествление терминов “В. о.” и “многокритериальная оп- тими-ация”. Действительно, с точки зрения математического аппарата соответствую- щие понятия идентичны.

Но есть принципиальное различие с точки зрения экономической: в первом случае, как указано выше, речь идет о совокупности (векторе) критериев различных подсистем, во втором — о векторе разнородных критериев оптимальности некоторой системы в це- лом.

Ко второму случаю можно отнести оптимизацию развития по множеству разнородных критериев, часто противоположных по направлению: общество одновременно заинте- ресовано в повышении жизненного уровня и укреплении обороны, в развитии химии и охране окружающей среды, в удовлетворении сегодняшних нужд и обеспечении буду- щих поколений и т. д. Именно для подобных задач предпочтительнее термин “много- критериальная оптимизация”.

ВЕКТОРНОЕ ( ЛИНЕЙНОЕ ) ПРОСТРАНСТВО [vector space] — множество всех векторов с одинаковым числом компонент, важнейшее для математической экономики понятие. Компонентами векторов действительного векторного пространства являются действительные числа (векторное пространство над полем R действительных чисел). Напр., векторы (5,3, –8,4) и (3, 5, 9, 1) — элементы 4-мерного векторного пространства. Пространство векторов с n координатами — n-мерное. В экономических задачах часто имеют дело с отображением одного линейного пространства в другое, т. е. установле- нием соответствия между векторами обоих пространств.

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ [stochastic, probabilistic model] — 1. Модель, которая в отличие от детерминированной модели содержит случайные элементы (см. Случайная величина). Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности зна- чений, на ее выходе могут получаться различающиеся между собой результаты в зави- симости от действия случайного фактора. Другое название В. м. — стохастические мо- дели.

2. В математической статистике и теории вероятностей В. м. называют тип распределе- ния вероятностей случайных признаков (нормальное, биномиальное, экспоненциаль- ное).

ВЕРШИНА ГРАФА [graph node] — элемент (точка) графа, обозначающий объект лю- бой природы, входящий в множество объектов, описываемое графом. То же: узел, точ- ка. Изолированная В. — та, которая не является концевой точкой какого-либо ребра.

Степень В. — число ребер, для которых она является концом (инцидентных к ней). В. называется нечетной, если ее степень — нечетное число, и четной, если ее степень — четное число; степень изолированной В. — нулевая.

Для любого графа сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер. В конечном графе число нечетных вершин четно.

ВЫИГРЫШ [gain] — 1. В теории игр — результат игры для ее участника (игрока), имеющий количественное выражение (напр., В. определенной суммы денег), но часто и не имеющий количественного выражения. В последнем случае возможно некоторое ус- ловное числовое обозначение, шкала: напр., в шахматах (выигрыш — 1, проигрыш — 0, ничья — ½). Величина, противоположная В., — платеж. При описании игры разные авторы предпочитают тот или иной термин, причем нередко В. называется любой ре- зультат, в том числе и проигрыш, а платежом, соответственно, может называться В.

2. В задачах динамического программирования — численная величина, максимизируе- мая в процессе многошагового оптимального управления (то же, что в ряде других слу- чаев обозначается термином полезность); различают В. общий и В. на каждом шаге управления.

ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [convex programming] — раздел нелинейного программирования, совокупность методов решения нелинейных экстремальных задач с выпуклыми целевыми функциями (они минимизируются) и выпуклыми системами ог- раничений. (См. Выпуклость, Вогнутость.)

Общая задача В. п. состоит в отыскании такого вектора x (т. е. такой точки выпуклого допустимого множества), который доставляет минимум выпуклой функции f(x) или максимум вогнутой функции y(x) (рис. В. 4). Для второго случая (выпуклая область до- пустимых значений и максимум вогнутой функции) ряд авторов предпочитают термин “вогнутое программирование”. Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как соответственно локальные и гло- бальный экстремумы здесь обязательно совпадают. Критериями оптимальности в пер- вом случае могут быть, напр., издержки при различных сочетаниях факторов производ- ства, во втором случае — величина прибыли при этих сочетаниях. Как видим, есть сходство между задачами выпуклого (вогнутого) и линейного программирования (по- следнее можно рассматривать как частный случай первого). Но нелинейность зависи- мостей делает задачу намного сложнее.

ВЫРОЖДЕННАЯ ЗАДАЧА [degenerate problem] — задача линейного программиро- вания, в которой при разложении вектора ограничений B (обозначения см. в ст. “Линейное программирование”) по некоторому базису a1,..., am по крайней мере один коэффициент оказывается равным нулю. Такая ситуация затрудняет решение задачи симплексным методом, вызывая явление “зацикливания”, при котором одно и то же множество базисных решений будет периодически повторяться, а оптимальный план никогда не будет достигнут.

ГАМИЛЬТОНИАН, ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА — ПОНТРЯГИНА [Hamiltonian]

— аналог Лагранжиана для задач математической теории оптимальных процессов.

Обозначается буквой H. В общем случае, если в каждый момент времени Г. достигает

максимума относительно управляющих параметров (при некоторых дополнительных

условиях и ограничениях, наложенных на эти параметры), траектория оказывается оп-

тимальной. Входящие в состав Г. сопряженные переменные (динамические аналоги

множителей Лагранжа, возникающих в статических задачах оптимизации) иногда на-

зывают теневыми ценами.

ГИПОТЕЗА [hypotesis] — 1. Требующее научного доказательства предположение, предварительное объяснение проблемы, основанное на имеющихся знаниях и опыте.Проверка и подтверждение Г. означают переход от предположения к новому знанию об изучаемом объекте или процессе.

Экономико-математические модели строятся на основании тех или иных Г. о структуре и взаимоотношении экономических показателей, о причинах тех или иных процессов. Проверка таких Г. осуществляется тремя способами. Первый путь — статистическое наблюдение и изучение действительных процессов, происходящих в экономике. Напр., выдвинута Г.: введение премий за качество продукции снижает брак, повышает при- быль предприятий. Можно изучить применение действующих поощрительных систем (т. е. провести наблюдение) и проверить эту Г. Другой способ проверки Г. — с помо- щью специально поставленного экономического эксперимента. В этом случае разраба- тываются и вводятся в действие новые стимулирующие факторы (премии) и ведется наблюдение за тем, как они действуют. Экспериментальным является и третий способ

— машинная имитация, “проигрывание” модели на компьютере.

2. Предпосылка, закладываемая в основу построения экономико-математической моде- ли (часто говорят так: “Модель основана на следующих Г...”).

ГЛАВНАЯ ДИАГОНАЛЬ ТАБЛИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА [main

diagonal of input-output table] — те клетки, которые стоят на пересечении строк и столб-

цов одноименных отраслей (табл. 1 к ст. “Межотраслевой баланс /МОБ/.”). В разных

видах балансов Г. д. применяется поразному. В одних случаях в ее ячейках указано

внутреннее потребление данной отраслью своей же продукции (как в названной табли-

це), в других — выпуск продукции соответствующей отрасли, взятый с отрицательным

знаком (не включая внутреннего потребления). В таком случае говорят, что баланс

строится по отраслевому методу, без внутриотраслевого оборота. Отрицательный знак

имеет здесь следующий экономический смысл: сколько выпущено данной отраслью,

столько распределилось, т. е. было использовано другими отраслями (промежуточный

продукт), а также стало конечным продуктом. Значит, при отрицательном знаке выпус-

ка на Г. д. суммой строки будет не валовой продукт (как в таблице), а нуль. В таких

случаях говорят, что строка сбалансирована. (Подобное рассуждение можно отнести и

к каждому столбцу.) Описанный прием облегчает выявление различных неувязок, оши-

бок при составлении баланса.

ГЛОБАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ [global modelling] (или моделирование гло- бального развития) — область исследований, посвященная разработке моделей наибо- лее масштабных социальных, экономических и экологических процессов, охватываю- щих земной шар. Напр., под руководством американского экономиста В. Леонтьева (по поручению одного из исследовательских центров ООН) была разработана экономико- математическая модель мировой экономики. Она делила мир на 15 регионов, взаимо- связанных экспортом-импортом по 43 секторам экономической деятельности. С ее по- мощью были проанализированы возможные варианты перспектив развития мира в це- лом до 2000 г. Характерно, что прогноз не предусмотрел такого всемирно- исторического явления, как развал социалистической системы и возникновение эконо- мики переходного периода. Известен ряд глобальных моделей, разработанных по зака- зу т. н. Римского клуба.

Еще в 80-е гг. СССР вступил в международную организацию LINK (система моделей все-мирных экономических связей), участвовал в работе по Г. м., проводимой под эги- дой ООН.

Глобальная система “Гея”, разработанная под руководством акад. Н. Н. Моисеева, по- зволила впервые проанализировать возможные последствия ядерного конфликта, пре- дупредить человечество о действительных размерах грозящей ему опасности.

ГЛОБАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ [global maximum] — (в общей задаче математическо- го программирования, в задачах линейного программирования, выпуклого программи- рования и др.) вектор инструментальных переменных, если он принадлежит допусти- мому множеству и целевая функция принимает на этом векторе значение не меньшее, чем в любой другой допустимой точке:

x* О X и F(x*) ≥ F(x)

для всех x D X.

Г. м. — строгий, если значение целевой функции при x = x* строго больше любого дру- гого значения функции на допустимом множестве, т. е.

F(x*) > F(x) для всех x D X, x ≠ x*.

Строгий Г. м. — всегда единственный. В задачах оптимизации (на максимум того или иного показателя) Г. м. целевой функции означает решение задачи, т. е. глобальный оп- тимум исследуемого процесса. Условия существования Г. м. определяются Вейершт- расса теоремой.

ГОМОРИ СПОСОБ [Gomory method] — прием, с помощью которого достигается ре- шение линейной задачи целочисленного программирования. Разработан американским математиком Р. Гомори. Состоит в автоматическом введении дополнительных ограни- чений, приводящих через конечное количество шагов к новой линейной задаче с цело- численным решением, которое оказывается одновременно оптимальным целочислен- ным решением исходной задачи (если только она имеет решение). См. также Дискрет- ное программирование.

ГРАДИЕНТ [gradient] — вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции и равный по величине ее производной в этом направлении:

где символами eiобозначены единичные векторы осей координат (орты).