Ln(36 − y2 )

16 4

2. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных

z(x, y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор гра-

диента функции в точке M(−1;1). Найдите также в этой точке уравнение ка- сательной плоскости к поверхности графика функции и координаты соответ- ствующего ей вектора единичной нормали:

z (x, y) = −4 x 2 + y 2 −16 x − 2 y − 13.

3. Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных:

z (x, y) = xy + 2 + 4.

X y

4. Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных перемен-

ных

z (x, y) = x + 4 y, при наличии уравнения связи: x 2 + y 2 = 17.

5. Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равновес- ную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой вы-

ручка максимальна,	и саму	эту максимальную	выручку.
Данные: D = 800− 20р,	S = 90 + 40р .

6. Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино»

частное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили

поставлять коровье молоко по цене 20 руб. за литр и свежие куриные яйца

по цене 14 руб. за десяток. Как показали экономические исследования кота

Матроскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпродук-

ции (связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живно-

сти, а также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно при-

близительно описать формулой:

7. g (x, y) = 2 x 2 + 9 y 2 - 8 xy,

где x − объем молока в литрах, которое дает корова Буренка за неделю, а y − число десятков яиц, получаемых от кур несушек за тот же период. Используя эту информацию, требуется написать функцию чистой прибыли для хозяйст- ва «Burenka» и рассчитать оптимальный бизнес-план: выяснить, сколько лит- ров молока и сколько десятков яиц следует производить за неделю, чтобы чистая прибыль была бы максимальной. Найдите эту прибыль!

Вариант 3

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения

функций функции двух вещественных переменных

z (x, y) =

x y 2

+

9 4

 25 − x 2 

 

− 1 + lg  16 − y 2 .

2. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных z(x, y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор гра- диента функции в точке M(−1;−1). Найдите также в этой точке уравнение ка- сательной плоскости к поверхности графика функции и координаты соответ- ствующего ей вектора единичной нормали:

z (x, y) = 4 x 2 + y 2 + 8 x + 4 y + 4.

3. Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных:

z (x, y) = xy + 12 − 18.

X y

4. Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных перемен-

ных

z (x, y) = 3 x + 4 y, при наличии уравнения связи:

x 2 + y 2 = 25.

5. Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равновес- ную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выруч-

ка максимальна,	и	саму эту	максимальную	выручку.
Данные: D = 900− 50р,		S = 100 + 20р .

6. Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино» ча-

стное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили по-

ставлять коровье молоко по цене 24 руб. за литр и свежие куриные яйца по

цене 16 руб. за десяток. Как показали экономические исследования кота Мат-

роскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпродукции

(связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живности, а

также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно приблизи-

тельно описать формулой:

7. g (x, y) = 9 x 2 + 3 y 2 - 10 xy,

Где x − объем молока в литрах, которое дает корова Буренка за неделю, а y − число десятков яиц, получаемых от кур несушек за тот же период. Используя эту информацию, требуется написать функцию чистой прибыли для хозяйства

«Burenka» и рассчитать оптимальный бизнес-план: выяснить, сколько литров

молока и сколько десятков яиц следует производить за неделю, чтобы чистая

прибыль была бы максимальной. Найдите эту прибыль!

Вариант 4

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения

функций функции двух вещественных переменных

x 2 y 2

 x 2 − 9 

z (x, y) =

Ln  2 .

49 25  4 − y 

2. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных

z(x, y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор гра-диента функции в точке M(1;−1). Найдите также в этой точке уравнение каса- тельной плоскости к поверхности графика функции и координаты соответст- вующего ей вектора единичной нормали:

z (x, y) = 4 x 2 + 25 y 2 − 16 x + 50 y + 38.

3. Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных:

z (x, y) = xy + 3 + 9.

X y

4. Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных перемен-

ных

z (x, y) = 2 x + 3 y, при наличии уравнения связи:

x 2 + y 2 = 52.

5. Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равновес-

ную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выруч-

ка максимальна,	и	саму эту	максимальную	выручку.
Данные: D = 600− 30р,		S = 80 + 40р .

6. Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино» ча- стное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили по- ставлять коровье молоко по цене 32 руб. за литр и свежие куриные яйца по цене 16 руб. за десяток. Как показали экономические исследования кота Мат- роскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпродукции (связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живности, а также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно приблизи- тельно описать формулой:

g (x, y) = 8 x 2 + 5 y 2 - 12 xy,

Где x − объем молока в литрах, которое дает корова Буренка за неделю, а y − число десятков яиц, получаемых от кур несушек за тот же период. Используя эту информацию, требуется написать функцию чистой прибыли для хозяйства

«Burenka» и рассчитать оптимальный бизнес-план: выяснить, сколько литров молока и сколько десятков яиц следует производить за неделю, чтобы чистая прибыль была бы максимальной. Найдите эту прибыль!

Вариант 5

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения

функций функции двух вещественных переменных

2 2

z (x, y) =

1 + x − y

+ ln(81 − x 2 − y 2).

25 4

2. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных

z(x, y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор гра-

диента функции в точке M(2;−1). Найдите также в этой точке уравнение каса- тельной плоскости к поверхности графика функции и координаты соответст- вующего ей вектора единичной нормали:

z (x, y) = −4 x 2 + 25 y 2 + 8 x + 50 y + 22.

3. Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных:

z (x, y) = − xy + 36 + 48.

X y

4. Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных перемен-

ных

z (x, y) = 2 x + 4 y, при наличии уравнения связи:

x 2 + y 2 = 80.

5. Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равновес-

ную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой выруч-

ка максимальна,	и	саму эту	максимальную	выручку.
Данные: D = 700− 20р,		S = 60 + 20р .

6. Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино» ча- стное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили по- ставлять коровье молоко по цене 36 руб. за литр и свежие куриные яйца по цене 24 руб. за десяток. Как показали экономические исследования кота Мат- роскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпродукции (связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живности, а также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно приблизи- тельно описать формулой:

7. g (x, y) = 6 x 2 + 7 y 2 - 12 xy,

где x − объем молока в литрах, которое дает корова Буренка за неделю, а y − число десятков яиц, получаемых от кур несушек за тот же период. Используя эту информацию, требуется написать функцию чистой прибыли для хозяйст- ва «Burenka» и рассчитать оптимальный бизнес-план: выяснить, сколько лит- ров молока и сколько десятков яиц следует производить за неделю, чтобы чистая прибыль была бы максимальной. Найдите эту прибыль!

Вариант 6

1. Найти и построить на координатной плоскости XY область определения

функций функции двух вещественных переменных

x 2 y 2

 x 2

y 2 

z (x, y) =

Lg 1 − − .

9 16

 49 36 

2.

3. Получить уравнения изолиний функции двух вещественных переменных z(x, y), построить их на координатной плоскости XY и вычислить вектор градиента функции в точке M(−1;1). Найдите также в этой точке уравне- ние касательной плоскости к поверхности графика функции и координаты соответствующего ей вектора единичной нормали:

z (x, y) = 25 x 2 − 4 y 2 + 50 x + 16 y + 7.

4. Исследовать на экстремум функцию двух вещественных переменных:

z (x, y) = xy + 4 + 16.

X y

5. Исследовать на условный экстремум функцию двух вещественных пере-

менных

z (x, y) = 2 x + 4 y, при наличии уравнения связи:

x 2 + y 2 = 5.

6. Даны зависимости спроса D и предложения S от цены р. Найдите равно-

весную цену, выручку при равновесной цене. Найдите цену, при которой

выручка максимальна, и саму эту максимальную выручку. Данные :

D = 800 − 40 р, S = 90 + 10 р.

7. Дядя Федор, кот Матроскин и Шарик создали в деревне «Простоквашино» частное фермерское хозяйство «Burenka». На местный рынок они решили поставлять коровье молоко по цене 24 руб. за литр и свежие куриные яйца по цене 18 руб. за десяток. Как показали экономические исследования ко- та Матроскина, издержки производства этой незамысловатой сельхозпро- дукции (связанные с закупкой комбикормов для коровы, кур и прочей живности, а также уплатой натуральных налогов почтальону Печкину) можно приблизительно описать формулой:

g (x, y) = 4 x 2 + 7 y 2 - 10 xy,