ГЛОССАРИЙ 3 страница

Способы постановки и решения таких задач хорошо отработаны. Их можно применять на любом предприятии. При правильной постановке З. о р. применение метода линей- ного программирования гарантирует сокращение отходов до минимально возможного.

ЗАДАЧИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [queueing problems] — класс задач ис- следования операций, заключающихся в нахождении оптимальных параметров систем массового обслуживания.

Слова “оптимальные параметры” здесь можно понимать двояко: как характеристики структуры системы (выбор числа каналов обслуживания, их последовательности, про- пускной способности) и как характеристики функционирования системы (формирова- ние входящего потока, выбор наилучшей дисциплины обслуживания и т. п.).

Важнейшими частными критериями качества систем массового обслуживания являют- ся:

вероятность удовлетворения заявки (требования) или задержки в обслуживании; математическое ожидание числа удовлетворенных (задержанных) заявок за фиксиро-

ванное время;

математическое ожидание числа занятых каналов обслуживания; математическое ожидание длины очереди.

В целом же можно считать, как это указано в ст. “Теория массового обслуживания”, что наиболее важным критерием оптимальности в таких задачах должно быть среднее суммарное время ожидания требований, с одной стороны, и простоя каналов обслужи- вания — с другой.

Аналитическим путем решаются лишь задачи наиболее простые, на практике все шире применяются методы статистического моделирования, особенно метод Монте-Карло (пример, показывающий, как решаются подобные задачи, приведен в ст., посвященной этому методу).

ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ [production allocation problems] — тип задач математиче- ского программирования, состоящих в нахождении оптимального размещения новых производственных объектов (предприятий), выпускающих однородный продукт (или небольшое количество продуктов) таким образом, чтобы суммарные затраты на произ- водство и транспорт были минимальными. В задачу включаются при этом не только новые, но и уже действующие объекты.

Главное противоречие здесь состоит в том, что себестоимость производства на круп- ных предприятиях, как правило, ниже, чем на мелких (см. Эффект масштаба), но при этом возрастают расстояния между производителями и потребителями и соответствен- но затраты на перевозку.

ЗАКОН УБЫВАЮЩЕЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ [law of diminishing marginal utility] — утверждает, что при потреблении блага общая полезность увеличи- вается, а предельная полезность по мере удовлетворения потребителя (насыщения по- требности) сокращается с каждой дополнительной единицей блага.

ИГРА [game] — формализованное описание (модель) конфликтной ситуации, вклю- чающее четко определенные правила действий участников (игроков), добивающихся выигрыша в результате принятия той или иной стратегии.

Это основное понятие теории игр удобно разъяснить на примере матричной И. с нуле- вой суммой. Матричные И. — те, в которых каждый из игроков имеет определенное число стратегий. Выражение “с нулевой суммой” означает, что выигрыш одного игрока есть проигрыш другого.

Итак, рассмотрим И. с нулевой суммой. Выигрыш каждого игрока зависит от того, ка- кие стратегии выбрал и он, и его противник. Считается, что значение каждого возмож- ного выигрыша известно, и все они сводятся в таблицу (матрицу игры), где по строкам размещаются стратегии игрока X, а по столбцам — стратегии игрока Y (см. табл. к ст. “Матрица игры”). Элемент Uijэтой таблицы обозначает выигрыш X и проигрыш Y при выборе первым из них стратегии xi, вторым — yj. Смысл И. — в нахождении оптималь- ной стратегии, т. е. такой, которая при многократном повторении И. обеспечивает дан- ному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний проигрыш).

Поскольку игроку X неизвестно, какую стратегию выберет Y, то самому X разумно вы- брать стратегию, рассчитанную на наихудшее для него поведение противника (принцип т. н. гарантированного результата).

Действуя осторожно и считая противника тоже разумным, X выберет сначала для каж- дой своей стратегии xi(i = 1, 2,..., n) минимально возможный выигрыш, затем такую стратегию, при которой выигрыш будет максимальным из всех минимальных. Это обо- значается так:

Найденная точка называется максимином, или максиминным выигрышем стороны X.

Однако и игрок Y будет рассуждать совершенно аналогично. Он найдет сначала для себя наибольшие проигрыши по всем стратегиям противника, а затем из этих макси- мальных проигрышей выберет минимальный, т. е. минимаксную точку, обозначаемую так:

Принцип, по которому поведение или стратегии выбираются из расчета наихудшего для себя поведения противника, получил название принципа минимакса.

В случае, если минимакс равен максимину, решения противников будут устойчивы, т. е. И. имеет седловую точку, или равновесие. Устойчивость решений состоит в том, что при этом всякий отход от избранных стратегий будет невыгоден обоим противни- кам. Иное дело, когда минимакс не равен максимину. В этом случае решения обоих иг- роков, если они хоть как-то распознали выбор стратегии (намерения) противника, ока- зываются неустойчивыми. В теории И. доказывается, что при многократном массовом повторении И. и смешанных (разных в каждом розыгрыше) стратегиях седловая точка и устойчивые решения все же имеют место. Однако в этом случае в каждом ходе обеим сторонам рекомендуется выбирать стратегию просто по жребию, ибо иначе противник, обнаружив какие-то закономерности в решениях игрока, может предугадать ход и вы- играть.

ИГРА С “ ПРИРОДОЙ ” [game with nature] — игра, в которой имеется только один иг- рок, причем исход ее зависит не только от его решений, но и от состояния “природы”, т. е. не от сознательно противодействующего противника, но от объективной, невраж- дебной действительности. Платежная матрица в этом случае похожа на показанную в ст. “ Матрица игры ”, но здесь игрок X — это лицо, принимающее одно из m различных возможных решений, а игрок Y — “природа”, принимающая n возможных состояний. При выборе решения игроком X могут использоваться различные критерии, напр.:

критерий Лапласа (“принцип недостаточного основания”), предполагающий, что все состояния одинаково вероятны, поэтому следует выбирать такую стратегию, которая максимизирует средний выигрыш по строке;

принцип максимакса, предполагающий, что Y — это доброжелательный партнер, по- этому следует выбирать строку с наибольшим из всех максимальных элементов по столбцам;

критерий максимаксного сожаления (риска), при котором любое решение сопоставля- ется с тем решением, которое было бы принято, если бы было известно состояние “природы”.

ИЗОКВАНТА, КРИВАЯ ЗАМЕЩЕНИЯ [isoproduct curve, isoquant] — в теории про- изводственных функций геометрическое место точек в пространстве факторов, в кото- рых различные сочетания факторов производства (ресурсов) дают одно и то же количе- ство выпускаемой продукции. То же: кривая безразличия производства, кривая равного продукта.

Кривизна И. характеризует эластичности замещения между затратами этих факторов. При сочетании затрат и получается то же количество продукта, что и при сочетаниях и, и. Для сохранения того же выпуска при сокращении затрат вида x1 на единицу потре- буется добавить затрат вида x2, тем больше, чем круче кривая равного продукта.

Основные свойства И.:

а) они никогда не пересекаются друг с другом;

б) большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат И.;

в) если все виды ресурсов абсолютно необходимы для производства, то И. не имеют общих точек с осями координат;

г) поскольку при увеличении затрат одного ресурса объем производства можно сохра- нить на том же уровне при меньшей затрате другого ресурса, И. имеют отрицательный наклон.

В экономико-математических моделях особенно широко применяется И. единичного выпуска, показывающая сочетания факторов, дающих единицу продукта.

КОББА — ДУГЛАСА ФУНКЦИЯ [Cobb—Douglas production function] — производст- венная функция, примененная американскими исследователями Ч. Коббом и П. Дугла- сом при анализе развития экономики США в 20—30-х гг. ХХ века. Имеет простую ал- гебраическую форму:

N = A · LαKβ,

где N — национальный доход; A — коэффициент размерности; L и K — соответствен- но объемы приложенного труда и капитала; α и β — константы (коэффициенты эла- стичности производства по труду L и капиталу K).

Функция — однородная степени α+β; следовательно, увеличение L и K в одинаковое число раз m увеличивает доход в mα+βраз. Если сумма α+β равна единице — функция линейно однородная; если больше или меньше единицы, имеет место эффект масштаба (соответственно положительный или отрицательный).

К.—Д. ф. основывается на предположениях о понижающейся предельной отдаче ресур- сов (см. Закон убывающей отдачи, Предельный эффект затрат), постоянстве коэффици- ентов эластичности производства по затратам ресурсов. Эластичность замещения ре- сурсов в любой точке кривой К.—Д. ф. равна единице.

Хотя К.—Д. ф. нельзя отнести к линейным, значения параметров А, α, β можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов. Для этого ее приводят к линейному виду, прологарифмировав обе части уравнения (обычно здесь берутся натуральные логарифмы):

lnN = ln А + α lnL + β lnK.

Модификация функции, учитывающая технический прогресс, достигается введением дополнительного сомножителя eπ, где π — темп технического прогресса (константа).

КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ [abstract model] — принципиальная основа эконо- мико-математической модели, предназначенной для реализации различными математи- ческими и техническими средствами и, следовательно, для непосредственного решения задачи. Это предварительное, приближенное представление о рассматриваемом объекте или процессе; часто К. м. имеет вид схемы, в которой фиксируются наиболее сущест- венные параметры и связи между ними. На этом этапе ограничиваются обычно не ко- личественными, а качественными категориями, т. е., напр., отмечают, что такая-то пе- ременная возрастает при убывании значений другой (а какова точно эта зависимость — будет выяснено на следующих стадиях разработки модели).

КРИВЫЕ БЕЗРАЗЛИЧИЯ [indifference curves] — геометрическое место точек пространства товаров, характеризующихся состоянием безразличия с точки зрения равной полезности для потребителя. Она является линией уровня для функции полезности этого потребителя. С другой стороны, это графическая иллюстрация взаимозаменяемости товаров. Применение К. б. — метод теоретического анализа спроса и потребления (а также некоторых других экономических явлений).

На обычном графике, изображающем первый квадрант системы координат, отложим по оси абсцисс количество одного блага, по оси ординат — коли- чество другого блага (рис. К. 5а). Кривая безразличия соединяет на этом пространстве координат все точки, отражающие такие комбинации (ассор- тиментные наборы) товаров, что покупателю безразлично, какую из них покупать. Напр., потребителю безразлично, покупать ли шесть предметов x и один предмет y (ситуация, показанная точкой A) или четыре предмета x и два предмета y (точка B) и т. д. Совокупность наборов, безразличных данному (на рис. К. 5а это набо- ры A, B, C), называется множеством безразличия (indifference set).

Таких К. б. можно построить сколько угодно: чем дальше от начала координат, тем бульшие по объему наборы товаров рассматриваются. Получается карта безразличия, напоминающая географическую карту с нанесенными горизонталями. На ней К. б., ле- жащая выше и правее данной кривой, представляет более предпочтительные (см. Пред- почтение) наборы товаров (на рис. К. 5а кривая II по сравнению с кривой I и III по от- ношению к II). Кривые имеют отрицательный наклон, причем их крутизна показывает предельную норму замещения одного товара другим; кривые никогда не пересекаются. Абсолютный наклон кривых уменьшается при движении по ним вправо: это означает, что кривые выпуклы к началу координат. Таковы основные свойства кривых безразли- чия.

При совмещении на графике К. б. с бюджетными линиями (рис. О. 8 к ст. “Оптималь- ный план потребления”) получаем дальнейшую информацию. Точки пересечения (сов- падения) этих кривых покажут, какие наборы не только предпочтительнее, так сказать, теоретически, абстрактно, но и фактически: они действительно доступны при данном количестве денег. Напр., в точке А, где бюджетная линия касается кривой безразличия U2, достигается максимум удовлетворения запросов потребителя при тех возможно- стях, которыми он располагает. На пересечении с кривой U1 у него остаются неисполь- зованные деньги, а кривая U3 для него недостижима. Если доходы потребителя увели- чиваются, он может выбрать наборы товаров, соответствующие не кривой I, а кривым II, III и т. д.

К. б. — это не просто теоретический “домысел” экономистов. Проводятся лаборатор- ные экономические эксперименты, в которых испытуемые вычерчивают такие кривые на основании собственного опыта. Свойства кривых изучаются с помощью средств ма- тематической статистики, причем часто оказывается, что эти свойства полностью сов- падают с теоретически выведенными (отрицательный наклон, непересекаемость и др.).

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ [linear model] — модель, отображающая состояние или функ- ционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней принимаются линейными (см. Линейная зависимость, Линейность в экономике). Соответственно она может формулироваться в виде одного линейного уравнения или системы линейных уравнений. Причем в ряде случаев нелинейность взаимозависимостей может приво- диться к линейной форме путем математических преобразований переменных: напр., в нелинейных соотношениях

в первом и втором случаях логарифмирование обеих частей уравнений обеспечивает связь линейную в логарифмах lny = lnα + βx; lny = lnα + βlnx, а в третьем — линейно зависимы y и 1/x.

Л. м., учитывающую стохастику, в общей форме можно записать так:

yi= αi+ βx + ui.

В этой регрессионной линейной модели [linear regressive model] приняты следующие обозначения: свободный член α и вектор β — параметры; u — случайная ошибка, мате- матическое ожидание которой равно нулю; x — вектор переменных xi, идентифициро- ванных как оказывающие воздействие на переменную y (т. е. управляющих перемен- ных). Применяется также иная система обозначений: переменная величина X называет- ся объясняющей (независимой) переменной; переменная Y — объясняемой (зависимой) переменной; u — остаток, равный разнице между между фактическими значениями и значениями модели. (См. Регрессионный анализ.) Л. м. в виде системы уравнений в общей форме записывается:

yi= αi+ Bxi+ ui,

где yi— зависимая переменная; B ≡ [βij] — матрица параметров модели; xi— вектор управляющих переменных в i-м уравнении.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [linear programming] — область математиче- ского программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных за- дач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными.

В самом общем виде задачу Л. п. можно записать так. Даны ограничения типа

или в т. н. канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая: