Лекция 1. Основные математические теории

Теоретические основы формирования элементарных математиче­ских представлений у дошкольников, так же как и начального обу­чения математике в I—IV классах школы, получили сравнительно недавно (примерно 20 лет назад) специальное название — «предматематика» (англ. premathematics). (В дальнейшем для простоты и краткости изложения мы будем пользоваться этим термином.)

Традиционно в качестве теоретических основ обучения прини­мали соответствующие математические теории в их завершенном виде. Однако дедуктивно построенная математическая теория в ее абстрактном виде не может служить основой для дошкольного и начального школьного обучения математике.

Понятия и факты на предматематическом уровне получаются абстрагированием из конкретных ситуаций или же разъясняются с помощью других понятий, хотя строгих определений здесь нет. Изло­жение дедуктивной математической теории носит формальный ха­рактер, изложение предматематики — содержательный. Дедукция, наиболее важная черта (и метод) математики, в предматематике играет второстепенную роль, носит локальный характер.

Предматематику не следует принимать за «детскую математи­ку». На предматематическом уровне изучаются некоторые поня­тия и темы школьного курса математики в средних и старших классах школы. Этот уровень часто используется и в научно-попу­лярной литературе. Что же касается формирования элементарных математических представлений у дошкольников и обучения мате­матике в начальных классах школы, то они полностью находятся на предматематическом уровне, отражают соответствующую стадию развития математических знаний. Поэтому цели и результаты этого обучения правомерно называть «предматематической» подготовкой дошкольников и младших школьников, т. е. их подготовкой к изу­чению математики.

Основная цель теоретических основ формирования элементарных математических представлений — математическое описание и уточ­нение смысла всего того, что практикуется на занятиях с дошколь­никами, разъяснение тех понятий, о которых у детей формируют соответствующие представления. Этой цели и подчинено изложение теоретических основ. Мы не будем строить здесь какие-нибудь строгие математические теории. Все изложение ведется на предмате­матическом уровне. Для иллюстрации различных понятий, фактов или конструкций мы будем пользоваться примерами и играми, мо­делирующими эти понятия или конструкции, и соответствующим дидактическим материалом. Часто используются при изложении специально разработанные обучающие игры. От них делается пе­реход к описанию тех логических и математических кбнструкций, которые этими играми, моделируются. Таким образом, теорети­ческие основы излагаются в непосредственной связи с элементар­ными математическими представлениями, формируемыми у дошколь­ников в процессе их обучения в детском саду. Особенностью этого изложения является также выявление логической структуры мышления, формируемой и развиваемой одновременно с элементар­ными математическими представлениями. Это дает возможность педагогу повысить развивающий эффект при формировании у до­школьников элементарных математических представлений.

Используемая при изложении теоретических основ специальная логическая и математическая терминология, и символика не пред­назначена, разумеется, для обучения дошкольников. Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность его некоторым предметам.

Например, свойством «быть красным» обладают некоторые цве­ты, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством «быть круг­лым» обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что мно­жество характеризуется данным свойством, или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества понимают такое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие этому множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом).