Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов)

Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том, случае, когда его правая часть имеет следующий вид:

(или является суммой функций такого вида). Здесь и - постоянные, и - многочлены от х соответственно n -ой и m -ой степени. Частное решение следует искать в виде:

.

Здесь r равно показателю кратности корня в характеристическом уравнении (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить ), и - многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, причем .

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Найдем решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , а потому общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде (в данном случае ; так как 0 не является корнем характеристического уравнения, то ). Итак,

, .

Подставим в дифференциальное уравнение:

.

Отсюда . Следовательно, общее решение исходного уравнения

.

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Найдем решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , а потому общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде . Итак,

, , .

Подставим в дифференциальное уравнение:

.

Отсюда . Следовательно, общее решение исходного уравнения

.

Задачи

Решить уравнения:

15.83. ; 15.84. ;

15.85. ; 15.86. ;

15.87. ; 15.88. ;

15.89. ; 15.90. ;

15.91. ; 15.92. ;

15.93. ; 15.94. .