Уравнения, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными

Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными, а следовательно, могут быть проинтегрированы в квадратурах. К числу таких уравнений относятся уравнения вида

где

Заменой уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, и начальное уравнение приводится к виду

или .

Интегрируя, получим

Задачи

Найти общие решения уравнений:

15.19. ; 15.20. ;

1521. ; 15.22. .

3. Однородные дифференциальные уравнения 1–го порядка

Уравнения вида

называются однородными. С помощью подстановки где z – новая функция, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно,

;

а это уравнение с разделенными переменными.

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Правая часть уравнения есть . Полагая или , получим . Подставим в исходное уравнение . Проинтегрируем и получим решение:

Задачи

Найти общие решения уравнений:

15.23. ; 15.24. ;

15.25. ; 15.26. ;

15.27. ; 15.28. ;

15.29. ; 15.30. .

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением 1–ого порядка называется уравнение вида

(6)

Если то уравнение называется линейным однородным уравнением 1–ого порядка, соответствующим данному неоднородному. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

Интегрируя, получаем

Интегрирование неоднородного линейного уравнения можно произвести одним из следующих методов: