Метод вариации произвольной постоянной

Будем искать решение уравнения (6) в виде

, (7)

где искомая функция. Подставляя (7) в (6), получаем

.

Тогда уравнение для :

. (8)

Интегрируя уравнение (8), находим .

В результате получаем решение уравнения (6):

.

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: . Тогда

или .

Получаем где

Для нахождения решения неоднородного уравнения будем искать решение в виде . Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем:

или ;

Следовательно, общее решение исходного уравнения:

2. Метод подстановки

В этом методе решение ищется в виде произведения неизвестных функций и т.е.

. (9)

Подставляя (9) в (6), получаем

. (10)

В уравнении (10) объединим слагаемые, содержащие множитель U

. (11)

Выберем функцию так, чтобы выполнялось равенство

. (12)

Интегрируя уравнение (12), находим частное ненулевое решение этого уравнения . Подставляя в (11) с учетом (12), получим дифференциальное уравнение для :

. (13)

Если обозначить решение (13) через то общее решение исходного уравнения запишется в виде

Пример.

Решить уравнение методом подстановки.

Решение.

Положим . Вычислив производную и подставив ее в уравнение, получим

; ; .

Для нахождения решаем уравнение :

; .

Общее решение исходного уравнения запишется в виде