Линейные однородные уравнения

Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре общего решения линейного однородного уравнения.

Теорема. Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами является линейная комбинация решений, образующих фундаментальную систему решений

где – произвольные постоянные.

Если - постоянные числа, то уравнение принимает вид

. (17)

Будем искать частные решения в виде где - постоянное число. Учитывая, что после подстановки в уравнение (17) получим

. (18)

Так как , то из (18) следует

. (19)

Уравнение (19) называется характеристическим уравнением. Если - корень уравнения (19), то функция - это решение уравнения (17).

Из курса алгебры известно, что многочлены n –ой степени имеют ровно n корней (действительных или комплексных). Общее решение уравнения (17) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения (19):

1. если корни характеристического уравнения действительны и различны, т.е. , то общее решение имеет вид ;

2. если корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные, например, кратности s, то общее решение имеет вид ;

3. если среди корней характеристического уравнения есть комплексно сопряженные, например, и , то общее решение имеет вид

Пример.

Составить характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

Решение.

Если заменить производные от у степенью с показателем равным порядку производной, получаем характеристическое уравнение:

Пример.

Найти общее решение уравнения

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

Корни уравнения: .

Общее решение данного уравнения: .

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение:

Корни уравнения:

Общее решение исходного уравнения имеет вид:

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение:

Корни уравнения:

Общее решение исходного уравнения имеет вид:

Задачи

Найти общие решения линейных однородных дифференциальных уравнений:

15.65. ; 15.66. ;

15.67. ; 15.68. ;

15.69. ; 15.70. ;

15.71. ; 15.72. .

Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям:

15.73. ;

15.74. ;

15.75. ;

15.76. .