Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида

, (2)

где множитель при является функцией только от у, а множитель при является функцией только от х, называются дифференциальными уравнениями с разделенными переменными. Функции и предполагаются непрерывными. Интегрируя левую часть уравнения (2) по у, а правую по х, будем иметь:

(3)

где С – произвольная постоянная.

Уравнение (3) является общим интегралом уравнения (2).

Пример.

Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Переменные разделены. Интегрируя, получим общий интеграл

Отсюда или

Задачи

Решить уравнения.

15.1. ; 15.2. ;

15.3. ; 15.4. ;

15.5. ; 15.6. ;

15.7. ; 15.8. .

Уравнение вида

, (4)

в которых выражения при и распадаются на множители, зависящие только от х или только от у, называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Разделив левую и правую части уравнения (4) на , получим уравнение с разделенными переменными:

(5)

Решение уравнения (5) записываются в квадратурах

.

При делении на произведение могут быть потеряны некоторые интегральные кривые где – действительный корень уравнения – действительный корень уравнения . Поэтому необходимо проверить, входят ли в общее решение указанные частные решения. Если входят, то потери решений нет, если не входят, то их следует учесть дополнительно.

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Разделим левую и правую части уравнения на ху и получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя полученное уравнение с разделенными переменными, получим

, или , или

Уравнение равносильно уравнению или где .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что при делении на у потеряно решение . Если считать, что принимает и значение, равное 0, его можно включить в общее решение

При решении в данном случае постоянную удобно взять в виде такой выбор не ограничивает произвольности постоянной. Также можно установить, что потеряно решение Окончательно, ответ можно записать так:

Задачи

Найти общие решения уравнений:

15.9. ; 15.10. ;

1511. ; 15.12. ;

15.13. ; 15.14. ;

15.15. ; 15.16. ;

15.17. ; 15.18. .