Пример 2. Расчет криволинейного бруса

Тонкий криволинейный брус радиуса жестко защемлен на одном конце и загружен нормальной силой и изгибающим моментов на другом конце (рис. 2.1). Объемные силы отсутствуют.

Напряженное состояние бруса определяется формулами (2.2.1)

Требуется проверить, отвечает ли данное решение уравнениям плоской задачи теории упругости в полярной системе координат и граничным условиям конструкции. Построить эпюры напряжений и сравнить с решением сопротивления материалов аналогичной задачи.

; ;

;

. (2.2.1)

1. Проверяем выполнение уравнений равновесия

а) ;

;

;

б). ;

;

.

.

Уравнения равновесия удовлетворяются.

2. Проверяем выполнение уравнения неразрывности.

.

;

.

Уравнение неразрывности деформаций удовлетворяется.

3. Формулируем и проверяем выполнение граничных условий.

Грань ABr = a. ; ;

;

Граничные условия

а) ;

;

б)

.

Проверяем выполнение граничных условий на грани АB

а) ;

б) .

Граничные условия на грани АВ выполнены.

Грань С Dr = a. ; ;

;

Граничные условия

а) ;

;

б)

.

Проверяем выполнение граничных условий на грани СD

а) ;

б) .

Граничные условия на грани CD выполнены.

Грань АD q = 0. ; ;

; ;

;

.

Здесь М ₀ - момент сил на грани

AD относительно полюса 0.

Граничные условия

а) ; ;

б) ; ;

Так как значение нагрузки неизвестно, и известны только ее интегральные характеристики, то формулируем интегральные граничные условия:

;

.

Проверяем выполнение граничных условий на грани AD

а) выполнение граничного условия очевидно, так как .

б)

;

.

Граничные условия на грани AD, в том числе интегральные выполнены.

Грань АD q = p/2. ; ;

; ;

;

;

.

Значения реакций V_AB, H_AB и М_АВ определяются из условий равновесия бруса ; ; .

Граничные условия

а) ; ;

б) ; . формулируем интегральные граничные условия:

а) ;

б) ; .

Проверяем выполнение интегральных граничных условий:

А. Так как , то интегральное граничное условие а) на грани ВС совпадает с интегральным граничным условием на грани на грани AD и, следовательно, выполняется.

В. Так как , то и, следовательно, интегральные граничные условия б выполняются.

Таким образом, напряжения, определяемые формулами (2.2.1) удовлетворяют уравнениям плоской задачи теории упругости в полярной системе координат и граничным условиям на гранях криволинейного бруса (рис. 2.1) и, следовательно, эти напряжения являются решением рассматриваемой задачи.