Решение методом сопротивления материалов

Конструкция, представленная на рис 1.1., может рассматриваться как однопролетная шарнирно опертая балка (рис. 1.2).

Очевидно, что опорные реакции V_А и V_А равны соответственно реакциям V_АВ и V_{C D} плоской задачи:

; .

Изгибающий момент и поперечная сила в сечениях балки определяются формулами:

;

;

Напряжения в сечении балки определяются формулами:

; ,

Для прямоугольного сечения при ; ;

; .

Окончательно получаем:

;

. (1.2.2)

На основании гипотезы сопротивления материалов: «продольные волокна не давят друг на друга», имеем .

Сравнивая решение сопротивления материалов (1.2.2) с решением теории упругости (1.2.1), видим, что оно совпадает с точностью до подчеркнутых слагаемых в решении теории упругости.

Если подставить решение сопротивления материалов в уравнения равновесия плоской задачи теории упругости, можно отметить, что первое уравнение сопротивления материалов удовлетворяется, а второе уравнение не удовлетворяется. Не выполняется также граничное условие на верхней продольной грани балки у = с. Чтобы второе уравнение равновесия теории упругости и граничное условие на верхней грани удовлетворялись, необходимо отбросить сформулированную выше гипотезу сопротивления материалов и принять . Однако при подстановке уточненного решения сопротивления материалов в уравнение неразрывности деформаций, оно не будет удовлетворятся. Очевидно, что добавка в формулах решения теории упругости не подчеркнутых слагаемых является необходимым условием удовлетворения уравнения неразрывности деформаций. В тоже время, добавка приводят к появлению уравновешенной системы нормальных напряжений на торце балки.

Проведем расчет и построим эпюры напряжений на левом торце х = 0 и в середине пролета балки х = L /2.

Сечение х = 0

; ;

;

; ;

.

Так как напряжений , распределяются симметрично (обратно симметрично) по сечению, то расчет их проводится в интервале у (0, с). Напряжения рассчитываются по всему сечению у (- с, с).

Сравнивая результаты расчета теории упругости с решением сопротивления материалов, получим относительную точность решения сопротивления материалов: ; .

Результаты расчета напряжений в сечении х = 0 приведены в табл. 1.1, эпюры напряжений на рис. 1.2.

Напряжения (кПа), сечение х = 0 табл. 1.1.

y/c		0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
		0,224	0,352	0,288	-0,064	-0,80
	-2	-2,592	-3,136	-3,584	-3,888	-4,0
	-2,0	-1,408	-0,864	-0,416	-0,112
	-4,050	-3,878	-3,368	-2,534	-1,400
	4,0	3,840	3,360	2,560	1,440
	-0,050	-0,038	-0,008	0,026	0,040
%	1,2	0,99	0,25	0,10	0,03

Сечение х = L /2

; ;

;

; ; ;

;

.

Напряжения (кПа), сечение х = L /2 табл. 1.1.

y/c		0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
		-1,088	-2,224	-3,456	-4,832	-6,40
		-1,2	-2,4	-3,6	-4,8	-6,0
Dsx		-0,112	-0,176	-0,144	-0,032	-0,4
dsx		10,3	7,9	4,2	0,66	6,25
	-1	-1,296	-1,568	-1,792	-1,944	-2,0
	-1,0	-0,704	-0,432	-0,208	-0,056
	-0,450	-0,442	-0,412	-0,346	-0,220
	0,50	0,480	0,420	0,320	0,180
	-0,050	-0,038	-0,008	0,026	0,040
%	11,1	8,7	2,0	7,4	18,0

.

Проведем оценку точности решения сопротивления материалов в зависимости от отношения высоты сечения к длине L.

а). Сечение х = L /2.

; ;

.

, %; , %.

; ;

, %; , %.

б). Сечение х = 0.

;

, %; , %.