Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: ab = | a || b | cosφ. Обозначается скалярное произведение: ab, ( ab ), a·b.

Свойства скалярного произведения:

1. ab = ba.

2. (k a) b = k(ab).

3. (a + b ) c = ac + bc.

4. a ² = aa = | a |², где а ² называется скалярным квадратом вектора а.

Если векторы а и b определены своими координатами и ,то

Отметим условия коллинеарности и перпендикулярности двух не нулевых векторов:

||

┴

Пример 1. Найти длину вектора по заданным координатам его концов , .

Решение:

Находим координаты вектора : , а теперь найдем модуль этого вектора: .

Пример 2. Даны векторы , и . Определить длину вектора .

Решение:

Найдем координаты вектора . Итак, .

Пример 3. Найти косинус угла между векторами и .

Решение

Из определения скалярного произведения следует, что . По координатам векторов находим: , ; , поэтому .

Пример 4. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-;2;2), С(2;5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение:

Составим вектора лежащие на диагоналях данного четырёхугольника. Имеем:

Проверим, ортогональны ли эти вектора. Для этого найдём их скалярное произведение:

Отсюда следует, что вектора, лежащие на диагоналях четырёхугольника ортогональны, а значит, диагонали взаимно перпендикулярны и данный четырёхугольник является параллелограммом