Основное уравнение кинетической теории

Тепловое движение молекул, несмотря на свою хаотичность, имеет две характерные скорости, которые определяются как массой каждой молекулы, так и температурой всего их ансамбля. Обе могут быть найдены с помощью функции распределения, которую мы получили выше. Найдем первую из них – среднеквадратичную скорость.

Среднее значение случайной величины связано с функцией распределения уравнением (6.33).Чтобы использовать эту связь, следует учесть, что случайная величина – скорость – входит во все функции распределения в квадрате. Значит, используя упомянутую теорему о среднем, можно будет найти не среднее значение скорости, а среднее значение ее квадрата:

.

(6.64)

Пределы интегрирования, как и положено, включают весь интервал возможных значений случайной величины, поскольку отрицательных значений квадрат скорости не имеет. Вынося постоянные за интеграл, получим третий из приведенных в (6.39) интегралов Пуассона:

.

(6.65)

Используя его, получим:

.

(6.66)

Подставляя теперь значения параметра a по (6.53), получим значение среднего квадрата скорости молекул:

,

(6.67)

и, извлекая квадратный корень, будем иметь:

.

(6.68)

Полученная скорость носит название среднеквадратичной скорости и является одной из двух характерных скоростей. Уравнение (6.67) можно использовать для нахождения средней кинетической энергии одной молекулы:

.

(6.69)

Как видно из этого равенства, средняя энергия теплового движения молекул определяется только температурой. Полученное уравнение замечательно тем, что впервые дает нам возможность связать микроскопические характеристики с макроскопическим параметром состояния вещества. Это уравнение называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Используется оно чрезвычайно широко.

Вторая характерная скорость движения молекул находится непосредственно из функции распределения (6.63). Это уравнение описывает кривую, имеющую максимум, который найдется обычным методом математического анализа: если взять производную от функции распределения:

,

(6.70)

а затем приравнять ее нулю, то:

, или ,

(6.71)

где u _н – наивероятнейшая скорость теплового движения молекул. Подставив значение a из (6.53), получим:

.

(6.72)

Этому значению скорости соответствует максимум кривой f (u²) (рис.6.10).

Если на оси u выделить интервал скоростей, то заштрихованная площадь будет определять относительное число молекул, принадлежащих этому интервалу. Последнее получим, если f (u²) заменим через ее значение непосредственно по определению функции распределения (6.26). Вместе с тем, относительное число молекул – это и есть вероятность.

Выделив на оси u несколько равных интервалов скоростей, нетрудно убедиться, что вероятность встретить молекулу в интервале вблизи u _н будет максимальна, как максимально и число молекул, принадлежащих этому интервалу. Поэтому скорость u _н называют наивероятнейшей. Среднеквадратичная скорость немного больше, и ее нетрудно найти на рисунке.

Обе характерные скорости получены с помощью законов статистической физики. Последние имеют место при хаотическом движении большого числа частиц. Это движение непременно предполагает возможность отклонения от средних значений: в одном микрообъеме газа средняя энергия частиц, например, может оказаться несколько больше, чем в соседнем. Отклонения от среднего носят название флуктуаций. Известно, что в отдельных микрообъемах земной атмосферы число молекул не одинаково, поэтому имеют место неоднородности – флуктуации плотности. Этими флуктуациями и обусловлен голубой цвет неба, поскольку неоднородности имеют такие размеры, что рассеяние на них претерпевает именно голубая часть световых лучей.

Законы статистики - это законы, справедливые для больших чисел с возможностью отклонения от них в ту, либо в другую стороны. Статистический характер законов свидетельствует о проявлении закономерностей для совокупности большого числа молекул, причем параметры движения каждой отдельной молекулы случайны.