Смысл постоянной a

Постоянная в распределении молекул по проекциям скоростей введена по соображениям размерности при подборе вида функции распределения. Для того чтобы выяснить, через какие физические параметры может быть выражена эта постоянная, разумнее всего опереться на опытные соотношения.

Хорошо известно, что давление определяется двумя макрохарактеристиками – температурой и концентрацией (6.20). Вместе с тем, зная функцию распределения по проекциям скоростей, его можно связать с характеристиками движения каждой молекулы – проекцией ее скорости, массой. Действительно, газ оказывает давление на стенки сосуда, поскольку молекулы, ударяясь о стенку и отскакивая от нее, каждая действует на стенку с силой f₀. Эта сила будет тем больше, чем быстрее двигалась молекула по направлению к стенке. Поэтому давление p разумнее всего вычислять как

,

(6.43)

где dp - давление, создаваемое ударами молекул, скорости которых близки друг другу, т.е. лежат в достаточно малом интервале скоростей du_x. Индекс означает, разумеется, что рассматривать следует проекции скоростей, чтобы можно было считать молекулы летящими только вдоль осей, перпендикулярных стенкам.

Если всего вдоль оси x движется N молекул, то только dN молекул будут иметь выделенную нами скорость. Поскольку давление – это сила, действующая на единицу площади, то, обозначив через f₀ силу удара одной молекулы и через dS – элемент площади,получим:

.

(6.44)

Задача теперь сводится к нахождению двух величин: dN и f₀. Сила удара молекулы может быть найдена по второму закону Ньютона:

,

(6.45)

.

(6.46)

где m ₀ – масса одной молекулы. Вектор (рис. 6.6.) найден по правилу вычитания векторов, и его длина равна двум u_х, поскольку удар изменил лишь направление скорости, оставив величину ее неизменной. Тогда:

Теперь найдем dN из следующих соображений: так как скорости разложены на составляющие, можно представить, что все молекулы движутся лишь вдоль осей. Выделим на стенке сосуда элемент площади dS (рис. 6.7). О поверхность dS будут ударяться лишь те молекулы, которые находятся в объеме длиной u_xDt и площадью dS. Те молекулы, которые находятся за пределами этого объема, не ударятся о стенку, если даже они будут двигаться по направлению к ней (молекулы, находящиеся на расстоянии l > u_xDt, за Dt секунд не успеют подлететь к dS). Следовательно,

dN = uxDt × dS × dn.

(6.47)

Если n – концентрация всех молекул, то dn – это концентрация молекул, обладающих выбранным нами значением u_x. Согласно определению, вероятность найти такие молекулы будет:

,

(6.48)

где f () – функция распределения молекул по проекциям скоростей. Подставляя в (6.44) силу по (6.46), dN по (6.47) и, наконец, dn по (6.48), получим:

,

(6.49)

или, используя полученное выше значение функции распределения по (6.41):

.

(6.50)

Интегрируя в пределах от 0 до р во всем интервале скоростей, получим:

(6.51)

Если воспользоваться для нахождения значения интеграла уравнением (6.39.2), будем иметь:

.

(6.52)

Воспользовавшись известным выражением для давления через концентрацию и температуру (6.21), получим окончательно: