Распределение молекул идеального газа по проекциям скоростей

Движение молекул газа хаотично. Молекулы имеют не только самые разнообразные направления и величины скорости, но и меняют их при столкновениях. В результате скорость данной молекулы в данный момент времени будет случайной величиной. Тем не менее, движение молекул при данных условиях можно характеризовать средней по ансамблю скоростью молекул. Чтобы найти ее по (6.34), необходимо знать функцию распределения молекул по скоростям.

Функция распределения, помимо этого, может дать возможность вычислить по (6.26) число молекул dN, обладающих какой-либо выбранной скоростью. Вид функции распределения для случая движения молекул, обладающих только кинетической энергией (молекул идеального газа), был установлен Максвеллом в середине XIX века.

Приступая к решению этой задачи, Максвелл предварительно ее упростил, разделив две характеристики скорости: величину и направление. При хаотическом тепловом движении и модуль скорости молекулы, и ее направление – величины случайные, поэтому решение задачи существенно усложняется. Однако вектор скорости можно разложить на составляющие – проекции вектора на оси координат. Проекции – не векторные величины, поэтому варьировать могут лишь их абсолютные значения. Для начала Максвелл решил более простую задачу: нашел распределение молекул по проекциям скоростей. Вид этой функции он искал подбором, исходя из простых соображений:

Функция распределения определяется по (6.25), то есть является коэффициентом пропорциональности между вероятностью и интервалом значений случайной величины.

При возрастании проекции скорости вероятность найти молекулу должна убывать и при достаточно больших скоростях должна стремиться к нулю. (Ведь найти молекулу, движущуюся со скоростью света, невозможно). Иначе говоря, при u_x ® ¥ dw_x ® 0, то есть f(x) тоже стремится к нулю.

Пусть проекция скорости будет u_x. Данной проекции соответствует определенная вероятность dw_x, найти молекулу с такой скоростью. Изменение знака проекции без изменения ее модуля не приведет к изменению вероятности. Поэтому разумнее выбрать функцию распределения так, чтобы она зависела от квадрата u_x.

Указанным выше условиям удовлетворяют различные функции, например:

,

(6.34)

где c – коэффициент пропорциональности. Максвелл предположил, что в данном случае подойдет более сильная зависимость:

(6.35)

Смысл параметров с и a, введенных по соображениям размерности, предстоит еще выяснить.

При таком виде функция будет более резко спадать при увеличении . Правильность выбора можно проверить так же, как и любую гипотезу молекулярно-кинетической теории: с помощью подобранной функции вычислить какую-либо величину и сравнить ее с экспериментом. Такой величиной является, например, средняя скорость движения молекул. Но о ней речь еще впереди.

Величина коэффициента пропорциональности c может быть найдена из условия нормировки (6.29) функции распределения:

,

(6.36)

или

.

(6.37)

Следовательно

.

(6.38)

В знаменателе стоит интеграл Пуассона, значение которого не определяется обычным интегрированием, а потому приводится в таблицах. Ниже мы даем результат интегрирования данного интеграла, а также значения еще двух подобных интегралов, которые встретятся нам в дальнейшем:

;	(6.39.1)
;	(6.39.2)
.	(6.39.3)

Учитывая первое из приведенных выше уравнений и введя в качестве переменной u_x, получим из (6.39.1)

с = ,

(6.40)

и тогда

.

(6.41)

Равенство (6.41) и есть функция распределения молекул по проекциям скоростей. А зная функцию распределения, нетрудно записать и вероятность. Согласно определению, они отличаются друг от друга лишь на интервал случайной величины: