Имитационная модель движения объекта

Основные обозначения систем координат и кинематических параметров движения объекта, используемые в работе:

ИСК – инерциальная система координат (), правый ортогональный трехгранник с началом в ц.м. (т. ) Земли (ось направлена по оси суточного вращения Земли, ось - в точку весеннего равноденствия), (рис.1.1);

ССК – связанная с объектом система координат , правый ортогональный трехгранник с началом в его ц.м. (ось - продольная ось, ось - находится в плоскости симметрии объекта и перпендикулярна продольной оси, ось образует правый ортогональный трехгранник - рис.2.1);

- гринвичский навигационный трехгранник с началом в ц.м. Земли (рис.2.2);

- географический сопровождающий трехгранник с началом в ц.м. объекта (рис.2.2), (рис.2.3);

- радиус - вектор и вектор абсолютной линейной скорости ц.м. объекта относительно инерциального пространства в проекциях на оси гринвичской системы координат;

- матрица направляющих косинусов и соответствующие ей углы Эйлера-Крылова (курс, тангаж и крен) определяют угловую ориентацию объекта относительно географического сопровождающего трехгранника (рис.2.4);

ПСК – приборная (правая ортогональная) система координат (), связанная с измерительным блоком (ИБ) БИИМ;

- кватернион положения и соответствующая ему матрица ориентации определяют угловую ориентацию ИБ БИИМ относительно географического сопровождающего трехгранника ;

- матрица ориентации, которая характеризует угловую ориентацию ИБ БИИМ относительно ИСК;

, , - приращения соответственно угла поворота ИБ, кажущейся линейной скорости и кажущегося перемещения на шаге интегрирования (эти данные поступают из контроллера ИБ БИИМ);

здесь - составляющие вектора угловой скорости вращения ИБ БИИМ относительно инерциального пространства, измеряемые блоком гироскопов в проекциях на приборные оси ; - составляющие вектора кажущегося ускорения, измеряемые акселерометрами ИБ БИИМ в проекциях на приборные оси .

Если не учитывать упругих деформаций корпуса, то движущийся объект можно рассматривать как твердое тело с шестью степенями свободы, движение которого состоит из поступательного движения центра масс (ц.м.) и вращательного движения вокруг ц.м. Поступательное движение определяется координатами местоположения, векторами линейной скорости и ускорения ц.м. относительно выбранной навигационной системы координат, а вращательное движение - параметрами угловой ориентации относительно некоторого опорного сопровождающего трехгранника, векторами угловой скорости и углового ускорения корпуса объекта относительно навигационного или сопровождающего трехгранника.

В качестве навигационной системы координат будем использовать связанный с Землей правый ортогональный трехгранник (гринвичский навигационный трехгранник ) с началом (рис.2.2), расположенном в центре масс Земли, а в качестве сопровождающего объект трехгранника – географический сопровождающий трехгранник (рис.2.2), обладающий следующим вектором угловой скорости

, (2.1)

где - угловая скорость суточного вращения Земли.

Местоположение ц.м. объекта в навигационной системе координат может быть определено либо декартовыми координатами радиус-вектора , соединяющего ц.м. Земли и объекта, либо задано геодезическими (географическими) координатами , связанными с геодезической вертикалью и вектором нормальной силы тяжести (рис.2.2). Между ними существует известная связь.

Обычно считается, что система координат вращается относительно ИСК с постоянной угловой скоростью суточного вращения Земли. Ориентация системы координат относительно определяется двумя углами и (рис.2.3) или матрицей направляющих косинусов

, (2.2)

где - геодезические (географические) координаты места объекта.

Рис.2.1. Система координат , связанная с корпусом объекта

Рис.2.2. Связанный с Землей правый ортогональный трехгранник

Рис.2.3. Ориентация географического трехгранника относительно системы координат

Ориентация связанной с объектом системы координат относительно трехгранника задается тремя углами Крылова (рис.2.4): - курсом, - углом продольных колебаний (угол тангажа) и - углом боковых колебаний (угол крена) либо матрицей направляющих косинусов

(2.3)

либо кватернионом , где - кватернион привязки осей измерительного блока БИИМ к осям объекта.

Рис.2.4.

Параметры поступательного движения ц.м. объекта – навигационные параметры (составляющие вектора линейной скорости относительно инерциального пространства в проекциях на оси географического сопровождающего трехгранника и оси гринвичской навигационной системы координат ПЗ-90, а также географические и декартовые координаты) формируются интегрированием кинематических уравнений поступательного движения путем задания соответствующих начальных условий , , , , и следующих линейных ускорений в проекциях на географические оси:

• на баллистической траектории:

- ускорения от силы тяжести -

, [Бромберг]

где =9.78049 – ускорение силы тяжести на экваторе земного эллипсоида (м/с²);

=0.005317 (безразмерная величина, имеет порядок малости ); – большая и малая полуоси эллипсоида вращения Земли; – квадрат первого эксцентриситета эллипсоида вращения Земли; - сжатие;

( параметры общеземного эллипсоида ПЗ-90:

=6378136 (м); =1/298.25784; =6378163 -средний экваториальный радиус Земли, (м); =7.2921151467e-5 -угловая скорость суточного вращения Земли(рад/с))

- кориолисова ускорения - ;

• на траектории спуска объекта в плотные слои атмосферы:

- ускорения от силы тяжести ;

- кориолисова ускорения - ;

- торможения корпуса в атмосфере - ;

- ускорения от аэродинамических сил при использовании крыльев и рулей управления - .

Могут быть заданы также линейные вибрации объекта и аномалии гравитационного поля.

Составляющие вектора линейной скорости относительно Земли формируются как

, (2.4)

а угол тангажа для вектора линейной скорости ц.м. на баллистической траектории

.

Текущие значения (истинные) координат местоположения ц.м. объекта формируются как

, (2.5)

где

, , - радиусы кривизны нормальных сечений соответственно в меридиональной плоскости и в плоскости первого вертикала.

Вращательное движение объекта (текущие значения параметров ориентации) формируется путем задания начальных значений углов курса (равен расчетному пеленгу траектории полета объекта), тангажа и крена , и их колебательных составляющих с учетом:

• на баллистической траектории:

- быстрого вращения вокруг продольной оси и конического движения относительно ц.м.

, ;

где , , ; рад/с; , ; (рад/с);

• на траектории спуска объекта – возможно различное маневрирование по курсу, тангажу и крену.

Текущие (истинные, модельные) значения навигационных параметров точки размещения ИБ БИИМ на объекте формируются с учетом ее отстояния от ц.м. объекта и значений вектора угловой скорости объекта:

• для составляющих вектора относительной линейной скорости в проекциях на связанные с объектом оси

, где ;

и оси географического сопровождающего трехгранника

;

• для составляющих вектора абсолютной линейной скорости (т.е. относительно инерциального пространства) будем иметь

,

; где ;

• для координат местоположения объекта

, ,

, (2.6)

где .

Истинные (модельные) значения декартовых координат (проекций радиус-вектора объекта на гринвичские оси ) получим из следующих соотношений:

(2.7)

где .

На выходе имитационной модели движения объекта формируются (восстанавливаются из кинематических параметров движения объекта) текущие истинные значения векторов угловой скорости и кажущегося ускорения точки размещения ИБ БИИМ на объекте.

Вектор угловой скорости вращения ИБ БИИМ относительно инерциального пространства формируется из кинематического уравнения [1]:

(2.8)

где - кососимметрическая матрица, соответствующая вектору угловой скорости вращения трехгранника ; - начальное значение матрицы .

Так как ИБ БИИМ жестко установлен в осях объекта, то

, (2.9)

где - матрица привязки осей ИБ к осям объекта.

Матрица формируется по заданным значениям параметров согласно выражению (2.3), а матрица - по текущим значениям , согласно (2.2), где вместо координаты следует использовать .

Вектор кажущегося ускорения (измеряемый блоком акселерометров) в месте установки ИБ БИИМ при допущении, что объект является абсолютно жестким, может быть представлен виде:

, ;

, (2.10)

где ; ; - аномалии гравитационного поля Земли; - вектор угловой скорости вращения объекта ; - радиус-вектор, характеризующий отстояние ИБ БИИМ от ц.м. объекта в связанных осях .