Как универсальный язык и орудие естествознания

Зрелость науки обычно измеряется тем, в какой мере она использует математику.

И. Кант

Выше отмечалось, что важнейшим условием возникновения и существования точного естествознания является использование научного эксперимента, а также математического аппарата исследований. Остановимся на втором условии, на математическом естествознании.

Известный современный английский астрофизик и популяризатор науки П. Девис в одной из своих книг отмечал, что величайшим научным открытием всех времен было осознание того, что законы природы можно записать с помощью математических формул. Математическое кодирование явлений природы позволяет понимать, управлять и предсказывать ход физических процессов.

В истории культуры первым осознал это выдающийся древнегреческий мыслитель и математик Пифагор. Он обнаружил, что высота музыкального тона струны связана числовой зависимостью с ее длиной. Более того, он считал, что Простые числа и геометрические фигуры, заключающие в себе соразмерности, или гармонии, являются началами мира. Эти идеи через Платона, Коперника и Дж. Бруно подхватил и развил один из основателей классической механики Г. Галилей (1564-1647). Галилей подчеркивал: тот, кто хочет решать вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу.

В своем сочинении «Пробирных дел мастер» (1623) Галилей отмечал: «Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять се может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту». Причем математика обеспечивает не только количественную точность, но и объективную достоверность знания. Поэтому в той степени, в какой человеку удается получить точное и достоверное знание, его знание становится сравнимым с божественным знанием.

Но, говоря о важности применения математики в естествознании, мы не должны абсолютизировать ее роль. Математические формулы сами по себе абстрактны и лишены конкретного содержания. Математика является лишь орудием, или средством, физического исследования. Только согласованные с научным наблюдением и экспериментом физические исследования наполняют математические формулы конкретным содержанием.

Так, ученые из Оксфорда в XIV веке установили интересную зависимость: расстояние, проходимое свободно падающим телом из состояния покоя, пропорционально квадрату времени (t²), прошедшего от начала падения. Однако физический смысл этой зависимости был раскрыт лишь в XVII веке Галилеем.

Ньютон обнаружил, что взаимное притяжение небесных тел можно описать законом обратных квадратов, который связывает силу тяготения (F) с расстоянием (г) от центра сферического тела соотношением (I/r). Закон всемирного тяготения И. Ньютона имеет вид:

m₁m₂

F = G

r ²

Но так компактно и изящно закон выглядит лишь в формуле, а реально тяготеющие массы, например планеты Солнечной системы, движутся при наблюдении за ними сложно, с теми или иными отклонениями от той траектории, которая предписывается формулой.

Так, планета Марс обычно на фоне неподвижных звезд движется с востока на запад. Но иногда она поворачивает и некоторое время движется вспять - с запада на восток. Кроме того, внешние планеты движутся медленнее внутренних. При более детальном рассмотрении в движении планет обнаруживается много других особенностей. Это свидетельствует о том, что физические законы и их математическое выражение просты, а мир процессов и вещей сложен, так как существует множество различных начальных условий, создающих разнообразие. Более того, в XIX веке обнаружилось, что электрические и магнитные силы подчиняются тому же закону обратных квадратов.

В этом смысле ученые часто говорят о красоте математических уравнений. Хотя красота - понятие туманное, но она часто служит источником вдохновения. Однажды в беседе с А. Эйнштейном немецкий физик В. Гейзенберг заметил: если природа приводит нас к математическим выражениям необычайно простым и красивым, то мы невольно воспринимаем их как истинные. Еще дальше в этом отношении пошел английский математик и физик П. Дирак, который провозгласил: «Красота уравнений важнее, чем их согласие с экспериментом». Это не означает принижения эксперимента, а значит только то, что красота и истинность совпадают в простоте и общности математических выражений. Физик нередко изучает такие явления природы, которые вначале кажутся чрезмерно сложными и запутанными, даже случайными. Но при использовании надлежащего математического аппарата сложное физическое явление может свестись к очень простой формуле.

Если на ранних стадиях развития естествознания математика была нужна ученым для обеспечения количественной точности и объективной достоверности результатов исследования, то в эпоху бурного развития естествознания в конце XIX - начале XX века математика стала служить средством получения простых (изящных, красивых) законов о сложных явлениях природы.

С развитием в XX столетии квантовой и волновой механики, физики элементарных частиц высоких энергий наука столкнулась с принципиально ненаглядными и противоречивыми явлениями микромира.

Так, элементарные частицы обладают одновременно свойствами частицы и волны, и такие микрообъекты изобразить в виде наглядных моделей в принципе невозможно, но они поддаются описанию соответствующими математическими уравнениями.

Упомянутый выше немецкий физик Вернер Гейзенберг подчеркивал, что в отличие от объектов классической механики для движущихся микрообъектов невозможно установить точно и одновременно их координату и импульс (количество движения): если мы точно вычислим координату, то их импульс останется неопределенным, и наоборот. Вместе с тем такое поведение микрообъектов можно описать математически, что выражается так называемым соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Но дело не ограничивается математическим описанием объекта: дальше нужно производить преобразования объекта, чтобы исследовать его. Так вот, если найдена адекватная физическим идеям математическая формула, то дальше мы можем преобразовывать не физический объект, а замещающую его формулу по правилам математики. Затем результаты математических преобразований проверяют в физическом эксперименте, который зачастую соответствует математическим преобразованиям.

Таким образом, если физический объект правильно выражен формулой и если правила математических преобразований согласованы с изучаемыми физическими процессами, то физические преобразования объектов могут быть заменены математическими преобразованиями исходных формул. В таком случае результаты математических преобразований будут как бы автоматически соответствовать физическим экспериментам, то есть математика выполняет в естествознании эвристическую, или познавательную, роль.

Иногда, отмечает известный отечественный физик М. А. Марков, математика приводит к таким выводам, которые здравому смыслу кажутся абсурдными. Но всегда, если не сделано математических ошибок, математика оказывается правой. По мере дальнейшего проникновения в микромир изучаемые объекты отображаются все менее наглядными образами, противоречивой комбинацией свойств. В таких случаях математика становится все более необходимым инструментом физики. Не удивительно, что роль математики в современной физике непрерывно возрастает, ее аппарат совершенствуется, а язык ее становится очень своеобразным и сложным. Как образно выразился академик М. А. Марков, перед нами книга по теоретической физике, но «вход сюда нематематику воспрещен». Аналогично тому, как древнегреческий мыслитель Платон, следуя идеям пифагорийцев, высек над входом в свою академию заклинание: «Негеометр - да не войдет» [32].

Узор математических знаков в современной физике является непреодолимым барьером между современной физикой и широкой читательской аудиторией. За последние десятилетия все чаще встречается чисто математическое творчество в физике. Физик-теоретик часто, исходя из каких-то более или менее убедительных соображений, «предлагает» свои уравнения для описания совокупности физических явлений. Часто, отмечает М. А. Марков, эти предложения не выдерживают серьезных испытаний экспериментом, но иногда они оказываются неожиданно удачными и тогда производят на современников неизгладимое впечатление.

В этой связи М. А. Марков приводит одну интересную притчу. Какой-то служитель храма Посейдона, как передает легенда, любил показывать посетителям дары, приносимые богу Посейдону от терпевших кораблекрушение людей и обещавших богу эти дары за свое спасение. Он говорил: «Смотрите, они обещали эти дары и были спасены». Один посетитель попросил служителя храма: «Покажите мне дары тех, которые обещали за свое спасение, но не были спасены».

Такие «физические дары» многих ученых (имена которых потонули в водах Леты) можно видеть в многочисленных толстых специальных журналах. Они заполняют журналы в виде не оправдавших себя теорий. Проводник по «храму науки будущего» не назовет имена их авторов, ибо они погибли для потомства вместе с крушением их идей. Тем не менее мы должны отдавать себе отчет в том, что на плечах многих таких ищущих ученых время от времени поднимаются более удачливые исследователи, успех которых был подготовлен поисками многих.

В заключение необходимо отметить следующее. Отдавая должное эвристической функции математики, мы не должны впадать в крайность и абсолютизировать ее возможности. В разных отраслях естествознания возможности применения математики разные. Традиционно высока ее роль в физических науках, но и в физике она наиболее эвристична лишь в некоторых областях - таких, как область общих законов природы, теория элементарных частиц и др. Однако даже здесь некоторые добавочные условия, появившиеся в фундаментальных открытиях новой физики, необычайно уменьшают произвол математического творчества. К числу таких условий относится требование неизменности формулировки закона для движущегося и покоящегося наблюдателя: закон не должен зависеть от точки зрения наблюдателя, поскольку закон выражает объективную зависимость в природе. Это требование, по мнению М. А. Маркова, сильно ограничивает возможности применения математики в теоретической физике.