Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть дано уравнение , (1)
где -непрерывная функция. Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке . Приводим исходное уравнение к виду
, (2)
где - некоторая непрерывная функция на отрезке .
Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (2). Получаем
,
,
,
..........
.
Доказано, если последовательность , , , …, , … сходится, то ее пределом является корень уравнения (2) и, следовательно, корень уравнения (1), т.к. уравнении (1) и (2) равносильны.
Для обеспечения сходимости итерационного процесса достаточно исходное уравнение привести к виду так, чтобы выполнялось условие
(3)
при .
Это можно сделать различными способами. Например, уравнение заменяется равносильным . В этом случае . Параметр подбираем так, чтобы при . Уравнение можно преобразовать к виду разными способами, только бы функция удовлетворяла условию (3).
ПРИМЕР 1. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода простой итерации.
Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , . Приводим заданное уравнение к виду
. (4)
В этом случае . Тогда , при . Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется. Уравнение (4) пригодно для применения метода итерации. Выбираем произвольное , например . Тогда
.
Аналогично определяются последующие приближения.
ПРИМЕР 2. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода простой итерации.
Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке . Функцию будем искать из соотношения , считая что , где .
Находим ;
;
; при .
Примем , тогда
.
За начальное приближение выберем , все остальные приближения будут определяться из равенства
.
Вычисления представим в таблице 10.1.
Таблица 10.1
n | xn | 2 xn +3 | lg(2 xn +3) | lg (2 xn +3) |
0,4771 | 0,2386 | |||
0,2614 | 3,5228 | 0,5469 | 0,2734 | |
0,2266 | 3,4532 | 0,5382 | 0,2691 | |
0,2309 | 3,4618 | 0,5394 | 0,2697 | |
0,2303 | 3,4604 | 0,5392 | 0,2696 | |
0,2304 |
Ответ: .
Варианты лабораторных работ
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 152 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!