Теоретические сведения. где -непрерывная функция

Пусть дано уравнение , (1)

где -непрерывная функция. Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке . Приводим исходное уравнение к виду

, (2)

где - некоторая непрерывная функция на отрезке .

Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (2). Получаем

,

,

,

..........

.

Доказано, если последовательность , , , …, , … сходится, то ее пределом является корень уравнения (2) и, следовательно, корень уравнения (1), т.к. уравнении (1) и (2) равносильны.

Для обеспечения сходимости итерационного процесса достаточно исходное уравнение привести к виду так, чтобы выполнялось условие

(3)

при .

Это можно сделать различными способами. Например, уравнение заменяется равносильным . В этом случае . Параметр подбираем так, чтобы при . Уравнение можно преобразовать к виду разными способами, только бы функция удовлетворяла условию (3).

ПРИМЕР 1. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода простой итерации.

Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , . Приводим заданное уравнение к виду

. (4)

В этом случае . Тогда , при . Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется. Уравнение (4) пригодно для применения метода итерации. Выбираем произвольное , например . Тогда

.

Аналогично определяются последующие приближения.

ПРИМЕР 2. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода простой итерации.

Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке . Функцию будем искать из соотношения , считая что , где .

Находим ;

;

; при .

Примем , тогда

.

За начальное приближение выберем , все остальные приближения будут определяться из равенства

.

Вычисления представим в таблице 10.1.

Таблица 10.1

n	xn	2 xn +3	lg(2 xn +3)	lg (2 xn +3)
			0,4771	0,2386
	0,2614	3,5228	0,5469	0,2734
	0,2266	3,4532	0,5382	0,2691
	0,2309	3,4618	0,5394	0,2697
	0,2303	3,4604	0,5392	0,2696
	0,2304

Ответ: .

Варианты лабораторных работ