Интерполяционные многочлены Ньютона

Цель работы: для функции, заданной таблично, найти приближенное значение функции в точках , и значение производной в точке .

ПРИМЕР. Функция задана таблицей 6.1. Требуется найти приближенное значение функции в точках =1,53; =2,18 и значение производной функции в точке =2,17.

Таблица 6.1

x	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2
f(x)	0,17609	0,20412	0,23045	0,25527	0,27875	0,30103	0,32222	0,34242

Составим таблицу конечных разностей 6.2 для исходной функции. Таблицу обрываем на четвертых разностях, так как конечные разности четвертого порядка практически постоянны.

Точка =1,53 находится в начале таблицы 6.1, поэтому воспользуемся первым интерполяционным многочленом Ньютона

при ; ; ; .

Имеем

.

Таблица 6.2

x	y	Dy	D2y	D3y	D4y
1,5	0,17609
1,6	0,20412		-170
1,7	0,23045		-151		-2
1,8	0,25527		-134		-3
1,9	0,27875		-120		-3
2,0	0,30103		-109		-1
2,1	0,32222		-99
2,2	0,34242

Вычисления представим в виде таблицы 6.3.

Таблица 6.3

i
Ai		0,3	-0,105	0,0595	-0,040162
Di y0	0,17609	0,02803	-0,00170	0,00019	-0,00002

Ответ: .

Вычисления производим с шестью знаками после запятой. В ответе последний знак отбрасываем.

Точка =2,18 находится в конце таблицы 6.1, поэтому воспользуемся вторым интерполяционным многочленом Ньютона

при ; ; ; .

Имеем

.

Вычисления представим в виде таблицы 6.4.

Таблица 6.4

i
Сi		-0,2	-0,08	-0,48	0,0336
Diyn-1	0,34242	0,02020	-0,00099	0,00010	-0,00001

Ответ: .

Вычисления производим с шестью знаками после запятой. В ответе последний знак отбрасываем.

В таблице 6.2 конечных разностей жирным шрифтом выделены конечные разности, используемые при вычислении и .

Вычислим значение производной функции в точке =2,17. Значение аргумента =2,17 находится в конце таблицы 6.1. Построим интерполяционный многочлен четвертой степени по второй интерполяционной формуле Ньютона:

.

Производную функции вычисляем приближенно из соотношения:

.

В данном случае ; ; .

Подставляя h, t, значения конечных разностей из таблицы 6.2 в выше приведенную формулу, получаем .

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1. таблицу значений функции 6.1 и таблицу её конечных разностей 6.2;

2. вычисления значения функции f(x) в точке ;

3. вычисления значения функции f(x) в точке ;

4. вычисления значения производной функции f(x) в точке .

Варианты лабораторных работ