Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем одну из переменных, например, пусть . Тогда -- функция одной переменной х.

-- частное приращение функции по переменной х.

Аналогично, если зафиксируем х=х₀, то

-- частное приращение функции по переменной y.

Если существуют конечные пределы, то:

--

называется частной производной по х (или частной производной первого порядка);

--

называется частной производной по y.

Выводы:

1. Частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему это приращение аргументу, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Частные производные в точке (x_0, y₀) – это числа, зависящие от координат точки, в которой вычисляются, то есть в общем случае это функция двух переменных.

3. Частная производная определяется как производная функции одной переменной (другую переменную фиксировали), поэтому для частных производных справедливы все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной. Следует помнить, что при нахождении частной производной какому-либо аргументу, все аргументы считаются постоянными.

Примеры

1) ;

.

2) ;

.