Математическое ожидание

Рассмотрим пример.

Пример. Пусть бросается монета. Выпадению О (рла) припишем случайной величине Х значение 0, а при выпадении Р (ешки) припишем Х значение 1. Найдем среднеарифметическое этих величин: M = (1+2)/2 = 0.5. Это значение называют математическим ожиданием случайной величины, которая связана с данным экспериментом (опытом). Математическое ожидание показывает, какое среднее значение будет принимать случайная величина при многократном повторении опыта. Мы помним, что вероятности, с которыми появляется 0 и 1 равны по 1/2, следовательно, при многократном повторении опыта в половине случаев выпадет 0, а в другой половине случаев 1. Это и означает, что среднее значение случайная величина есть 1/2. Мы можем подсчитать математическое ожидание X так

М (Х) = 0 × 1/2 + 1 ×1/2 = 1/2.

Определени е. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X принимающей значения х _i с вероятностям р _i называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности

.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Пример. Пусть подбрасывается две монеты. Если выпадет ОО, то припишем этому событию значение 1, если выпадет ОР, то припишем этому событию значение 2; если выпадет РО, то припишем этому событию значение 3; если выпадет РР, то припишем этому событию значение 4. Найти математическое ожидание.

Решение.

Применим формулу

М (X) = 1/4×(1+2+3+4) = 10/4 = 5/2.

Для всех примеров параграфа 8 можно вычислить математическое ожидание.