 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Закон и функция биномиального распределения
|
|
Эксперимент Бернулли предоставляет пример распределения случайной величины играющей исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике и в различных приложениях.
П р и м е р 1. Пусть эксперимент состоит из двух испытаний. Каждое испытание состоит в подбрасывании одной и той же монеты. В каждом испытании по подбрасыванию одной монеты О (рел) появляется с вероятностью Р (О) = p = 1/2. В этих двух испытаниях О может:
а) не появиться вовсе, б) может появиться только один раза, в) может появиться два раза.
В этом эксперименте случайная величина X принимает значения Х = { 0, 1, 2 }. Вероятности появления этих чисел Р 2(k), где k = 0, 1, 2, мы уже рассчитали ранее по упрощенной формуле Бернулли.
Р 2 (0) = 
;
Р 2 (1) = 
;
Р 2 (2) = 
.
Имеем таблицу для биномиального закона
| Хi | |||
| pi | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
И график биномиального закона распределения вероятностей случайной дискретной величины. Для наглядности точки графика соединяют прямыми линиями.
Пример.
При построении графика закона распределения вероятностей надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения, потому что точки соединены только для наглядности.
Функция распределения будет задаваться формулой
И изображаться графиком
П р и м е р.
По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела небольшая, равна p = 0,4, т.е стреляет стрелок новичок. Найти вероятность того, что в цель а) не попали б) попали 1 раза, в) попали 2 раза г) попали 3 раза д) попали 4 раза е) попали 5 раз. Построить закон распределения и функцию распределения.
Аналитическая формула для биномиального закона задается формулой Бернулли. Искомые вероятности вычисляется по формуле
где 
.
Вероятности для стрелка новичка мы вычислили ранее:
Р 5 (0) = 0.078; Р 5(1) = 0.259; Р 5(2) = 0.346;
Р 5(3) = 0.23; Р 5(4) = 0.077; Р 5(5) = 0.01.
Заполняем таблицу
| X=k | ||||||
| P (k) | 0.078 | 0.259 | 0.346 | 0.23 | 0.077 | 0.01 |
Строим график закона распределения для новичка.
В сумме 
, т.е. достоверным событием является то, что с.в. примет какое либо из 6 значений. Эта таблица показывает, как вероятность Р = 1 распределилась между всеми значениями с.в. (событиями). Она распределилась неравномерно. Закон распределения и показывает как это неравномерное распределение в данном примере произошло, сам закон распределения 
есть собственно “плотность вероятности ” для дискретной случайной величины. Из графика хорошо видно, что чаще всего стрелок новичок попадает в край мишени, и чаще всего набирает по 2 очка.
Для иллюстрации тут уместен один физический пример.
Пример. Дан кусок металла массой 1 кг. Из него сделаны 6 шаров массами mi (кг/шар). Для большей аналогии с предыдущей вероятностной задачей, шары будем нумеровать с нуля:
0-0.078; 1-0.259; 2-0.346; 3-0.23; 4-0.077; 5-0.01.
Функция 
, отражающую зависимость массы шара от номера шара будет иметь в точности вид на рис. Требуется построить функцию 
, k = 0 - 6, которая равна массе всех шаров от 0 до k, где k - меняется от 0 до 6. По этой функции построить функцию 
, где [ х ] - целая часть от действительного числа x.
Решение дано на следующих рисунках.
На этом графике ордината первой точки соответствует массе первого шара, ордината второй точки сумме масс первого и второго шара, ордината третьей точки показывает сумму первых трёх шаров и т.д., когда ордината 6 точки показывает ординату массы всех шести шаров.
Этот график получен из предыдущего, по формуле , где [ х ] - целая часть от действительного числа x. Он отражает как бы “накопляемую массу”при переходе от номера шара к следующему номеру. С физической точки зрения он конечно не даёт ничего нового по сравнению с графиком , k = 0 - 6, но практически идейно совпадает с функцией распределения вероятностей.
Вернёмся к нашему примеру со стрелком - новичком. Построим функцию распределения вероятностей.
Функция распределения для стрелка-новичка. При переходе от одного полуинтервала к другому, происходит “накопление вероятности”. “Накопленная вероятность” становится всё больше, приближаясь в максимуму равному 1. Небольшое отличие от предыдущего физического примера с шарами, заключается в том, что значение функции в точках разрыва определяется по-разному. При 
функция равна нулю. При 
функция равна единице. Для стрелка - новичка накопление вероятностей происходит быстрее в начале отрезка [0, 6], чем в конце отрезка. Это означает, что он чаще набирает маленькие очки 1, 2 и в этих точках график скачком возрастает на большую величины. В точках 4 и 5 функция скачком изменяется не столь быстро, как в точках 2 и 3. Это означает, что он реже попадает в центральную область мишени.
Пример.
По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна р = 0,8 т.е выстрелы производит стрелок разрядник. Найти вероятность того, что в цель а) не попали б) попали 1 раза, в) попали 2 раза г) попали 3 раза д) попали 4 раза е) попали 5 раз и представить закон в разных формах.
Решение.
Для спортсмена разрядника можно все сделать аналогично.
По формулам Бернулли вычисляются соответствующие вероятности:
Получаем закона распределения в виде графика.
В сумме , т.е. достоверным событием является то, что с.в. примет какое либо из 6 значений. Эта таблица показывает, как вероятность Р = 1 распределилась между всеми значениями с.в. (событиями). Она распределилась неравномерно. Закон распределения и показывает как это неравномерное распределение в данном примере произошло, сам закон распределения есть собственно “плотность вероятности ” для дискретной случайной величины. Из графика хорошо видно, что чаще всего стрелок новичок попадает в центральную область мишени, и чаще всего набирает по 4 очка.
Функция распределения для спортсмена разрядника
При переходе от одного полуинтервала к другому, происходит “накопление вероятности”. “Накопленная вероятность” становится всё больше, приближаясь в максимуму равному 1. Небольшое отличие от предыдущего физического примера с шарами, заключается в том, что значение функции в точках разрыва определяется по-разному. При функция равна нулю. При функция равна единице.
Для стрелка - разрядника накопление вероятностей происходит быстрее в конце отрезка [0, 6], чем в конце отрезка. Это означает, что он чаще набирает большие очки 3, 4, 5, чем маленькие 1, 2. Чаще попадает в центр мишени, чем в её край.
Пример. Сравнить графики законов для новичка и разрядника.
Для сравнения графиков их можно совместить на одном рисунке.
Законы распределения вероятностей имеют максимумы, положения которых зависит от вероятности p исхода каждого выстрела. В первом случае точка максимум xmax = 2, во втором- точка максимума xmax = 4. Так из этого рисунка видно, что наивероятнейшее число попаданий у новичка равно k max = 2 с вероятностью Р ≈ 0.35, а у спортсмена k max = 4 с вероятностью Р ≈ 0.41.
Пример. Пусть по цели производит 5 выстрелов ещё более квалифицированный стрелок у которого винтовка с оптическим прицелом и поэтому вероятность попадания при каждом выстреле равна р = 0.95. Построить график закона распределения.
Решение.
Проводя все те же самые вычисления при р = 0.95, что и для значений p = 0.4 и р = 0.8 получим график. 
Из графика хорошо видно, что из пяти выстрелов спортсмен, имеющий винтовку с оптическим прицелом практически с вероятностью P ≈ 0.78 поражать мишень 5 раз, тогда как попасть 4 раза из пяти вероятность не очень большая и равна всего Р ≈ 0.22. Попасть 3 раза из 5 имеют малую, близкую к нулю, вероятность. Попасть 1 или 2 раза из пяти вовсе имеют ничтожную вероятность. Это невозможное событие для спортсмена, имеющего винтовку с оптикой.
Задание. Постройте приближённо функцию распределения для спортсмена с оптикой и сделайте выводы.
Может возникнул вопрос. Почему закон распределения 
назван биномиальным? Закон распределения 
назван биномиальным потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
Или короче
где коэффициенты 
есть биномиальные коэффициенты Ньютона, которые можно найти как по формуле 
, так и из треугольника Паскаля-Ньютона.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 491 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
