Теорема. Вероятность того, что случайная величина примет значение заключенное в интервале (a, b) равно разности значений функции распределения в концах этого интервала

Доказательство.

Вероятность, того что X примет значение меньшее b равно сумме двух несовместных событий, а именно, 1) что X примет значение меньшее a и события, 2) что X примет значение между a и b.

По теореме сложения для несовместных событий имеем формулу

Отсюда

Или, используя определение F (x)

ч.т.д.

Эта теорема справедлива и для дискретных и для непрерывных случайных величин.