 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Гипергеометрическое распределение
|
|
Мы при знакомстве с разделом комбинаторики рассматривали такую задачу
П р и м е р. В ящике лежат N = 12 монет, причем M = 4 из них фальшивые, остальные настоящие. Берут наугад n = 5 монет. Мы находили вероятности того, что среди отобранных 5 монет окажется ровно k = 0, 1, 2, 3, 4 фальшивых монет и получили
следующие вероятности:
P (k = 0) = 56 / 792 = 7/99.
P (k = 1) = 280 / 792 = 35/99.
P (k = 2) = 336 / 792 = 42/99 =14/33
P (k = 3) = 112 / 792 = 14/99.
P (k = 4) = 8 / 792 = 1/99.
Обозначим через:
N = 12 −общее число монет;
M = 4 – количество среди них фальшивых;
N − M = 8 – количество настоящих монет;
n = 5 −количество взятых наугад монет.
В любом случае k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …., min (M, n) –количество среди них фальшивых, (n − k) − количество настоящих монет, среди отобранных.
Здесь мы имеем дело с законом распределения, который называется гипергеометрическим. Подобно закону Бернулли или Пуассона, имеется общая формула для гипергеометрического закона. Все вычисления вероятностей для различных k мы проводили по формуле, в которой для расчета благоприятствующих событий был использован принцип умножения и формулу для сочетаний
.
Это и есть общая формула гипергеометрического распределения. Следующий рисунок поможет запомнить формулу для различных случаев. Рассмотренный случай характерен тем, что n > M. Однако можно сформулировать задачу и для n < M, когда число отобранных монет n меньше, чем число фальшивых монет M среди всей совокупности монет.
В данном примере выборочная совокупностьn или просто выборка больше, чем число фальшивых монет M среди всей генеральной совокупности N т.е n>M.
Если переобозначить m=k и обозначить через L= N-M, l=n-k, то формула записывается в более запоминающемся виде
Рисунок надо понимать так, что исходное множество объектов N состоит из двух множеств N = M + L, из него делается выборка n Ì N, которое состоит из двух множеств n = m + l. Находятся сочетания из больших букв по малым буквам 
, 
, 
и затем находят отношение произведения первых двух сочетаний к третьему.
Построим закон гипергеометрического распределения
Закон распределения гипргеометричекого распределения напоминает биномиальное, потому что имеет такую же колоколообразную форму.
Увеличим N в более чем 10 раз.
Пусть количество элементов (генеральная совокупность, монет) будет N = 150
Количество дефектных монет M = 40
Объем выборки равен n = 20
График распределения показан на рисунке
В этом случае колоколообразность формы закона гипергеометрического распределения ещё более заметна.
Изменим объем выборки до 60.
Тогда N =150, M =40, n =60
График функции распределения изменится
В этом случае, можно догадаться, что закон гипергеометрического распределения можно с высокой точностью описать биномиальным распределением.
Пример. В урне 20 шаров, из них 5 окрашенных. Найти вероятности появления шаров и построить закон распределения.
Пример
В ящике 200 деталей из них 10 дефектных. Делают выборку из 5 деталей. Построить с помощью программы закон распределения вероятностей появления в выборке количества дефектных деталей.
Указание. Задачи по существу дела не отличается от рассмотренной выше с монетами.
Выводы
Сделаем некоторые выводы по данному параграфу. Были рассмотрены дискретные с.в. На конкретных простых примерах были рассмотрены распределения: равномерное, биномиальное, пуассоновское, гипергеометрическое. Геометрическое мы не стали рассматривать, с ним можно познакомиться по учебнику []. Из этих пяти визуально резко отличаются только три: равномерное, биномиальное и пуассоновское. Гипергеометрическое напоминает колоколообразное биномиальное распределение. Геометрическое похоже на Пуассоновское, быстро убывающее, с ростом k.
Каким бы распределением не обладала д. с. в. Для неё всегда можно построить закон распределения 
и функцию распределения 
, которые равноценны с точки зрения задания случайной величины, из заданной одной можно всегда получить другую Но закон распределения более нагляден, чем функция распределения, более выпукло оттеняет более вероятные события от менее вероятных.
Дискретная случайная величина может быть задана своим законом распределения в виде таблицы, в виде графика, с помощью аналитической формулы. Все эти способы равноценны, но обладает каждый своими преимуществами. Особенно нагляден графический способ. По формулам можно считать вручную или на микрокалькуляторе или с помощью таблиц (формулы Лапласа). Однако наиболее современен программный метод с помощью математических пакетов для персонального компьютера. Таких математических пакетов много: MathCAD, Maple, MathLab, Matematika и многие другие, не говоря уже об общедоступном программном офисном продукте EXEL, на котором можно выполнять все вычисления и построения. Особенно простой интерфейс у математического пакета MathCAD, у которого визуально написание программы осуществляется подобно тому как пишется на листе бумаги рукой. Кроме д.св. большое значение имею т и непрерывные с.в. для которые тоже можно задать с помощью закона распределения и функции распределения. Но прежде чем рассмотреть их, рассмотрим ещё некоторые важные числовые (скалярные) характеристики д.с.в. Это математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное уклонение. С их помощью тоже приближенно можно судить законе и функции распределения. Их подчас получить (вычислить) намного легче, чем закон и функцию распределения.
Математическое ожидание и дисперсия есть моменты первого и второго порядка. Можно в принципе находить и моменты более высокого порядка, однако ими редко приходиться пользоваться.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 279 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
