Теперь рассмотрим более общий случай

Пусть производится сложный эксперимент, состоящий из ряда испытаний. В результате каждого испытания может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний. Такие испытания называются независимыми относительно события А. Вместо слова испытание можно было употребить опыт, эксперимент, наблюдение и т.п.

Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р (А) = р. Тогда вероятность противоположного события в каждом испытании равно Определим вероятность Р_,п (k) того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно k раз.

Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик). Искомая вероятность вычислячется по формуле

где

Если вероятность p = 1/2, то и q = 1/2 и формула упрощается (упрощенная формула Бернулли).

Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей.

П р и м е р 3. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты три раза. Вычислить вероятности того, что Орел выпадет а) 0 раз, б) 1 раз, в) 2 раза, г) 3 раза.

Решение.

Вероятность рассчитываем по упрощенной формуле Бернулли

а) , б) , в) , г)

Замечание. Эти результаты мы получали с применением формулы классической вероятности.

П р и м е р.

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель а) не попали б) попали 1 раза, в) попали 2 раза г) попали 3 раза д) попали 4 раза е) попали 5 раз.

Указание.

Для решения задачи достаточно воспользоваться формулой Бернулли.

Ответ:

а) 243/3125 = 0.078, б) 162/625 = 0.259

в) 216/3125=0.346 г) 144/625=0.23

д) 48/625=0.077 е) 32/3125=0.01

Вычисления были проведены с помощью математического

MathCAD 2000, которую бесплатно предлагает производитель.

Программа вычисляет все возможности k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 и осуществляет проверку. Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

Пример.

Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности трех попаданий, четырех попаданий и пяти попаданий.

Вероятность пяти попаданий из пяти выстрелов:

.

Вероятность четырех попаданий из пяти выстрелов:

.

Вероятность трех попаданий из пяти:

.

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

P ₅(k ³3) = 0.0102+0.0768+0.2304= 0.317

Вообще правило вычислений всех случаев такое.

Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли событие наступит: а) менее m раз б) не более m раз в) более m раз г) не менее m раз находят по формулам соответственно:

а)

б)

в)

г)

Пример 1. Монету бросают пять раз. Найти вероятность, что О(рёл) выпадет а) менее 2 раз б) не более 2 раз в) более 2 раз г) не менее 2 раз

Пример 2. Игральный кубик бросают 5 раз. Найти вероятность, что 6 выпадет а) менее 2 раз б) не более 2 раз в) более 2 раз г) не менее 2 раз

Пример 3. Стрелок разрядник делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель равна p = 0.8. Найти вероятность попадания а) 2 раза б) не менее 2 раз.

Ответ: а) Р ₅(2) = 0.0064, б) Р ₅(k ³2) = 0.99328.

Пример 4. Стрелок новичок делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель равна p = 0.4. Найти вероятность попадания а) 2 раза; б) не менее 2 раз; в) Сравнить результаты с предыдущим примером.

Ответ: а) Р ₅(2) = 0.2592; б) Р ₅(k ³2) = 0.6630; в) интересно сравнить результаты. Ровно два раза у новичка попасть гораздо выше, чем у разрядника. Это понятно, разрядник, скорее всего будет попадать в цель и попасть из пяти выстрелов всего два раза, это есть маловероятное событие, тогда как у новичка попасть всего два раза вероятность больше, остальные три раза может и промахнуться. А вот попасть не менее двух раз у разрядника вероятность значительно больше, чем у новичка, по той же причине.

Из сравнения двух результатов стрельбы двух стрелков возникает вопрос. Каково наивероятнейшее количество попаданий у спортсмена разрядника и у новичка?