Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Звичайні диференціальні неоднорідні рівняння другого порядку, які мають сталі коефіцієнти, мають вигляд
,
де p, q − дійсні числа.
Якщо в цьому поданні диференціальних рівнянь , то маємо диференціальні однорідні рівняння другого порядку, які мають сталі коефіцієнти.
Розглянемо однорідне диференціальне рівняння другого порядку, в якого коефіцієнти є сталі, а саме:
.
Загальний інтеграл такого рівняння має вигляд
,
де та – лінійно незалежні частинні інтеграли цього рівняння, вигляд яких визначається в залежності від коренів відповідного характеристичного рівняння.
Характеристичне рівняння, яке відповідає однорідному диференціальному рівнянню, має вигляд
і складається виходячи з заданого однорідного диференціального рівняння за таким правилом: другій похідній відповідає квадрат деякої невідомої , першій похідній відповідає змінна в першому степені , а функції відповідає змінна в нульовому степені, а коефіцієнти переносяться без змін.
Якщо характеристичне рівняння має дійсні різні корені та , то частинні інтеграли мають вигляд
,
та загальний інтеграл такого однорідного диференціального рівняння є
.
Якщо характеристичне рівняння має кратні дійсні корені , то загальний інтеграл однорідного диференціального рівняння є
.
Якщо характеристичне рівняння має комплексно сполучені корені
, , то
.
Задача 9.11. Визначити загальний інтеграл рівняння
.
Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння та визначимо його корені. Маємо
,
що видно з теореми Вієта.
Тоді розв’язок диференціального рівняння, яке подано до розгляду, має вигляд
.
Задача 9.12. Визначити загальний інтеграл рівняння
.
Розв’язання. Маємо характеристичне рівняння
, та ; .
Тоді загальний інтеграл зазначеного диференціального однорідного рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, має вигляд
Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, тобто
.
Загальний інтеграл такого рівняння має вигляд , де Y – загальний інтеграл (загальне розв’язання) відповідного однорідного диференціального рівняння, а – частинний інтеграл (частинне розв’язання) неоднорідного диференціального рівняння.
Частинний розв’язок визначається в залежності від вигляду правої частини неоднорідного диференціального рівняння.
1. Якщо , де – довільний многочлен та не збігається з коренями та характеристичного рівняння, то
,
де – многочлен, степінь якого збігається із степенем многочлена та має невідомі коефіцієнти, які визначаються за методом невизначених коефіцієнтів.
2. Якщо та – простий корінь характеристичного рівняння, то
.
3. Якщо та – кратний корінь характеристичного рівняння, то
.
Задача 9.13. Визначити загальний інтеграл диференціального рівняння .
Розв’язання. Подане до розв’язання диференціальне рівняння є неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку, яке має сталі коефіцієнти та праву частину спеціального вигляду, а сама права частина складається із многочлена та степеневої функції.
Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння є
,
тоді ; ,
тобто корінь характеристичного рівняння є кратним, тому загальне розв’язання однорідного рівняння має вигляд
.
При визначенні частинного розв’язку неоднорідного диференціального рівняння звернемо увагу на те, що якщо , як уже відзначалось, є сума многочлена та добутку многочлена на степеневу функцію , то частинний розв’язок буде також складатись із суми двох відповідних частинних розв’язків: , де ; , де та не є коренем характеристичного рівняння, тобто . Визначимо коефіцієнти А, В, С.
Маємо ; , тоді після підстановки в рівняння маємо
;
;
.
Порівнюємо коефіцієнти та будемо мати , , .
Тому
,
а загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння має вигляд
.
У загальному випадку права частина неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, коефіцієнтами якого є сталі, може мати вигляд
.
Частинний розв’язок диференціального рівняння визначається в залежності від того, чи є комплексне число коренем характеристичного рівняння, чи ні, а саме:
1. Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то
частинний розв’язок має вигляд
.
2. Якщо є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок має вигляд
.
Зауваження:
1. Многочлени та , які записуються з невизначеними коефіцієнтами, мають степені, які визначаються більшим степенем многочленів та .
2. Якщо або , то частинний розв’язок слід визначати у відповідності до загальних виразів, які зазначені вище в п. 1 та 2.
3. Якщо , то за умови, що не є коренем характеристичного рівняння,
,
а за умови, що є коренем характеристичного рівняння,
.
Задача 9.14. Визначити загальний розв’язок диференціального рівняння .
Розв’язання. Загальний розв’язок , де Y – загальний розв’язок відповідного однорідного диференціального рівняння, а – частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.
Маємо, що однорідне рівняння , якому відповідає характеристичне рівняння , що має корені , має загальний розв’язок
.
Права частина диференціального рівняння, яке розглядається, , дає підстави частинний розв’язок визначати як , де – частинний розв’язок, який визначається , а – частинний розв’язок, який визначається . Маємо , оскільки та не є коренем характеристичного рівняння, , оскільки не є коренем характеристичного рівняння.
Тоді .
Визначимо загальний розв’язок диференціального рівняння, яке розглядається. Маємо
.
Для визначення коефіцієнтів А, В та С розглянемо такі похідні та систему рівнянь:
;
;
;
Маємо ; ; .
Тоді загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, яке має сталі коефіцієнти, має вигляд
.
Доцільно відзначити, що за необхідності розв’язання диференціального рівняння послідовність формування міркувань щодо його розв’язання може відповідати такій послідовності. Перш за все слід визначити, яке диференціальне рівняння розглядається. Якщо воно є звичайним диференціальним рівнянням першого порядку, то в подальшому необхідно з’ясувати: чи воно є рівнянням, яке допускає відокремлення змінних; чи є однорідним; чи воно є лінійним; чи воно є рівнянням Бернуллі. Після визначення, до якого типу належить диференціальне рівняння, потрібно застосувати відповідні способи визначення його розв’язку. Якщо задане диференціальне рівняння є звичайним диференціальним рівнянням другого порядку, коефіцієнти якого є сталими, то перш за все необхідно з’ясувати, чи воно є однорідним, чи неоднорідним. У залежності від такого визначення слід застосувати способи визначення загального розв’язку рівняння, яке для однорідного диференціального рівняння відповідає змісту коренів характеристичного рівняння, а для неоднорідного відповідає змісту коренів характеристичного рівняння та змісту виразу його правої частини.
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 692 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!