Спосіб розв’язання однорідного звичайного диференціального рівняння першого порядку

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо функція є однорідною.

Функція є однорідною n -го виміру відносно х та у, якщо , диференціальне рівняння є однорідним відносно х та у, якщо є однорідною функцією нульового виміру, а це означає, що функція може бути подана як функція однієї змінної, тобто .

Спосіб розв’язання однорідного звичайного диференціального рівняння першого порядку полягає в тому, що заміна змінної , а тоді , приводить однорідне диференціальне рівняння до вигляду рівняння, яке допускає відокремлення змінних.

Задача 9.4. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Задане рівняння подають у вигляді

.

Переконаємось в тому, що функція є однорідною нульового виміру.

Маємо

.

Тоді вводимо заміну змінної .

Маємо

;

;

;

де .

Задача 9.5. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Переконаємось в тому, що дане рівняння є однорідним. Маємо

Тоді

та

;

.

Після відокремлення змінних маємо

.