Спосіб розв’язання звичайного диференціального рівняння першого порядку, яке допускає відокремлення змінних

Диференціальне рівняння першого порядку, яке має вигляд

,

де та можуть бути подані у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї змінної, тобто ; , називається звичайним диференціальним рівнянням першого порядку, яке допускає відокремлення змінних.

Тоді маємо

,

а якщо почленно поділити на , то

,

тобто при такому перетворенні досягається відокремлення змінних.

Відшукання загального інтеграла рівняння досягається почленним інтегруванням, а саме

.

Задача 9.1. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Маємо

та після почленного ділення на

.

Почленне інтегрування дозволяє визначити загальний інтеграл рівняння:

;

Задача 9.2. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Маємо

,

та після почленного ділення на xy

;

.

Почленне інтегрування дозволяє визначити загальний інтеграл рівняння, а саме:

Задача 9.3. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Маємо

.

Поділимо почленно на добуток , тоді

;

.