Спосіб розв’язання лінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку

Рівняння , де Р (х) та Q (х) є функціями змінної х, лінійне відносно функції у (х) та її похідної, називається лінійним звичайним диференціальним рівнянням першого порядку.

Спосіб розв’язання такого диференціального рівняння полягає в тому, що заміною функції воно зводиться до розгляду двох рівнянь, які допускають відокремлення змінних.

Рівняння називається рівнянням Бернуллі, розв’язок якого досягається таким же чином, що й лінійні диференціальні рівняння.

Задача 9.6. Знайти загальний інтеграл рівняння

.

Розв’язання. Виходячи з запису лінійного диференціального рівняння в загальному вигляді

,

приходимо до висновку, що диференціальне рівняння, запропоноване до розв’язання, є лінійним. Тому вводимо до розгляду

.

Тоді

.

Будемо мати

;

.

Розглянемо розв’язання рівняння .

Маємо

; ; .

Розглянемо розв’язання другого рівняння

; ; ;

.

Отже розв’язання заданого лінійного диференціального рівняння має вигляд

.

Задача 9.7. Знайти частковий інтеграл рівняння

за умови .

Розв’язання. Після перетворення будемо мати

,

що в загальному вигляді є , де слід розглядати х як функцію від у.

Тому вводимо до розгляду , тоді

.

Маємо

або

.

Розглянемо рівняння

та його розв’язання, тобто

,

а також рівняння

та його розв’язання, а саме

;

; ,

де

Тоді

та

.

Для розв’язання задачі Коші визначимо сталу.

Якщо та , то . Тоді .