Способи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають пониження порядку

Зміст різних способів розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають пониження порядку, пов’язаний з тим чи іншим типом таких рівнянь. Розглянемо такі рівняння.

1. Рівняння n-го порядку , де функція не містить функції та її похідних будь-якого порядку. Спосіб розв’язання таких рівнянь полягає в послідовному інтегруванні, визначенні на кожному кроці сталих та врахуванні їх при подальшому визначенні інтеграла.

Задача 9.8. Визначити інтеграл рівняння .

Розв’язання. Установити, що задане рівняння відноситься до типу (або запис ).

Домножимо ліву та праву частину на dx та інтегруємо.

Маємо

; ;

; .

2. Рівняння другого порядку , де відсутня функція .

Спосіб розв’язання такого рівняння полягає в тому, що вводиться до розгляду змінна , а тоді будемо мати .

Задача 9.9. Визначити інтеграл рівняння .

Ров’язання. Установити, що задане рівняння відповідає .

У відповідності до зазначеного вище способу їх розв’язання маємо

,

а тоді

.

Це рівняння є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку відносно функції Р (х). Тоді

; ;

;

,

та

Визначимо функцію Р (х). Маємо .

Тоді

;

.

3. Рівняння другого порядку , де не міститься змінна х.

Спосіб розв’язання цього рівняння полягає в тому, що вводиться до розгляду функція, яка залежить від змінної у, тобто . Тоді .

Задача 9.10. Визначити інтеграл рівняння .

Розв’язання. Установити, що задане рівняння відповідає типу .

Тоді

; ;

;

; ; ;

.

Отже,

;

.