Теоретические сведения. Уравнение называется рациональным, если и – рациональные выражения

Уравнение называется рациональным, если и – рациональные выражения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Общий знаменатель имеющихся дробей является . Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

;

;

.

Из уравнения находим . Осталось проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение , т.е. проверить выполнение условия . Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, - единственный корень уравнения.

Решение уравнений методом разложения его левой части на множители.

Суть этого метода состоит в том, что нужно решить уравнение , где – многочлен степени . Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: , где – многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение примет вид . Если – корень уравнения , то , а потому хотя бы одно из чисел равно нулю. Значит , - корень хотя бы одного из уравнений

.

Итак, если , где – многочлены, то вместо уравнения нужно решить совокупность уравнений . Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем , откуда . Значит, либо , либо . Из первого уравнения находим , второе уравнение корней не имеет. Таким образом, корень уравнения -2.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примере.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

.

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим . Это действительные корни заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным называется уравнение вида , где . Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению уравнений . Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим , которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т.е. буквами обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют уравнение.

3) Решают составленное уравнение и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.