![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Уравнение называется рациональным, если
и
– рациональные выражения.
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:
1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Общий знаменатель имеющихся дробей является . Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:
;
;
.
Из уравнения находим
. Осталось проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение
, т.е. проверить выполнение условия
. Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит,
- единственный корень уравнения.
Решение уравнений методом разложения его левой части на множители.
Суть этого метода состоит в том, что нужно решить уравнение , где
– многочлен степени
. Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители:
, где
– многочлены более низкой степени, чем
. Тогда уравнение
примет вид
. Если
– корень уравнения
, то
, а потому хотя бы одно из чисел
равно нулю. Значит
, - корень хотя бы одного из уравнений
.
Итак, если , где
– многочлены, то вместо уравнения
нужно решить совокупность уравнений
. Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения
.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем , откуда
. Значит, либо
, либо
. Из первого уравнения находим
, второе уравнение корней не имеет. Таким образом, корень уравнения -2.
Решение уравнений методом введения новой переменной
Суть этого метода поясним на примере.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Положив , получим уравнение
, откуда находим
. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений
.
Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Из второго квадратного уравнения находим . Это действительные корни заданного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным называется уравнение вида , где
. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив
, придем к квадратному уравнению
.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Положив , получим квадратное уравнение
, откуда находим
. Теперь задача сводится к решению уравнений
. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим
, которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.
Решение задач с помощью составления уравнений
С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.
1) Вводят переменные, т.е. буквами обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют уравнение.
3) Решают составленное уравнение и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4) Если буквами обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 185 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!