Аппроксимация табулированной функции одного аргумента

Суть аппроксимации заключается в том, что заданную таблично (табулированную) функциональную зависимость y=f(x) приближенно отражают (аппроксимируют) другой функцией (как правило, в виде аналитической зависимости), проходящей возможно ближе к точкам с координатами (x_i, y_i), но не требуют совпадения значений аппроксимирующей и табулированной функций в точках (x_i, y_i). При подобной аппроксимации чаще всего используется метод наименьших квадратов и надстройку «Поиск решения».

Последовательность действий.

1. Подлежащая обработке выборка экспериментальных данных представляется на диаграмме набором точек с координатами X, Y (строится точечная диаграмма);

2. Анализируя вид представленной на диаграмме зависимости, можно подобрать аналитическое выражение для аппроксимирующей функции Ya=f(X) и выбрать в первом приближении значения ее коэффициентов;

3. Для уточнения значений коэффициентов аппроксимирующей функции следует организовать таблицу, в колонках которой содержатся: экспериментальные значения X_i, Y_i; значения, полученные для аппроксимирующей функции Ya_i и квадраты невязок (Y_i-Ya_i)². В отдельных ячейках размещаются значения коэффициентов для аппроксимирующей функции и значение суммы квадратов невязок для всей выборки δ. Для удобства точки со значениями значений X_i и Y_i на диаграмме следует отображать маркерами, а зависимость Ya=f(X) – сплошной линией.

4. При уточнении значений коэффициентов аппроксимирующей функции следует обратиться к пункту меню Сервис ® Поиск решения. В открывшемся диалоговом окне Поиск решения в качестве целевой ячейки указывается ячейка содержащая значение δ, а переключатель Равной: устанавливается на минимальному значению. В окне Изменяя ячейки указывается перечень ячеек, в которых находятся значения коэффициентов аппроксимирующей функции. Если необходимо установить ограничения на значения коэффициентов следует обратиться к списку ограничения. Для проведения уточнения надо нажать кнопку Выполнить.

На рисунке 2.8 приведена таблица с исходными данными, вид аппроксимирующей функции и выбранные в первом приближении значения ее коэффициентов.

После выполнения поиска решения график имеет вид, приведенный на рисунке 2.9, а значения искомых коэффициентов и суммы квадратов невязок равны:

a = 0,0014,

b = 0,5013,

c = 0,753,

d = 0,463,

δ = 0,0014

Для оценки состоятельности проведенной аппроксимации можно использовать относительную оценку R²:

(2.5)

Чем ближе значение R² к единице, тем лучше график аппроксимирующей функции согласуется с экспериментальными данными.

Следует отметить, что в пакете «Поиск решения» используются градиентные методы поиска минимума функционала d (суммы квадратов невязок). Указанные методы хорошо работают в том случае, когда заданные в первом приближении значения искомых величин попадают в область, имеющую один минимум функционала d. В противном случае происходит выход на один из локальных минимумов d, что может привести к неточному решению задачи.

Рассмотрим в качестве примера аппроксимацию экспериментальных данных представленных на рисунке 2.10.

По характерным особенностям графика экспериментальной зависимости выбирается вид аппроксимирующей функции. В данном случае:

f_a(a,b,x)=sin(a×x) ×cos(b×x)

Подбор коэффициентов аппроксими- рующей функции a и b проводятся методом наименьших квадратов с использованием приемов оптимизации, заложенных в надстройке «Поиск решения». Суть метода заключается в следующем: значения коэффициентов a и b выбираются из условия минимума функционала δ:

Изменение величины функционала δ при варьировании значений a и b отражено на рисунке рис.2.11.

Видно, что в рассмотренной области изменения a и b существует два минимума:

¾ глобальный минимум a = 2, b = 3, δ = 0;

¾ локальный минимум a = 2.47, b = 3.47, δ = 2,98.

Чаще всего локальных минимумов может быть достаточно много, но требуется найти только глобальный минимум.

Поэтому при решении задач аппроксимации или оптимизации с использованием надстройки “Поиск решения” следует внимательно относиться к получаемому решению.

Для контроля правильности получаемого решения следует проводить поиск решения несколько раз, варьируя начальные значения искомых величин.

Для облегчения выбора аппроксимирующей функции и значений ее коэффициентов далее приводятся графики некоторых функций и способы оценки значений коэффициентов.

1. Функция: y=a+b×sin(c×x+d)

a – сдвиг по оси y;

b – амплитуда;

c – коэффициент учитывающий масштаб по оси x;

d – коэффициент учитывающий фазовый сдвиг;

1. e < 0

   Функция: y=a+b×sin(c×x+d)×exp(e×x)

a – сдвиг по оси y;

b – амплитуда;

c – коэффициент учитывающий масштаб по оси x;

d – коэффициент учитывающий фазовый сдвиг;

e – коэффициент учитывающий затухание колебаний;

c < 0

c < 0

3. Функция: y=a+b×exp(c×x) 4. Функция: y=a+b×(1-exp(c×x))

Для функций y=a+b×exp(c×x) и y=a+b×(1-exp(c×x)) ®

5. Функция y=a+b×x+c×sin(d×x)